Pauli–Villars 正則化

場の量子論入門　第6部 第2章 §6.2.3　★ 重い偽粒子を引き算する。Lorentz 不変は保つが、非可換ゲージ理論では破綻する。

伝播関数を

$$\frac{1}{k^2-m^2}\;\longrightarrow\;\frac{1}{k^2-m^2}-\frac{1}{k^2-M^2} = \frac{m^2-M^2}{(k^2-m^2)(k^2-M^2)}$$

と置き換える。大きい $k$ では2つの項が打ち消し合って $1/k^4$ が $1/k^6$ になり、積分の収束が良くなる。質量 $M$ の粒子を負の符号で足したことに相当するので、この偽の粒子をPauli–Villars 粒子と呼ぶ。最後に $M\to\infty$ とする。

この方法は Lorentz 不変性を明白に保ち、QED のようなアーベルゲージ理論ではゲージ不変性も保つ。しかし非アーベルゲージ理論（QCD）では、質量を持つ偽のゲージ場を入れた時点でゲージ不変性が壊れるので使えない。