次元正則化

場の量子論入門　第6部 第2章 §6.2.4　★★ 時空次元を $d=4-2\epsilon$ にずらす。Lorentz 不変性とゲージ不変性を保つ主力の方法。

現在の標準的な方法は、時空の次元を4からわずかにずらすことである。

$$d = 4-2\epsilon,\qquad \epsilon>0$$

とすると、第1章で見た対数発散の積分（$\int\mathrm{d}^4k/k^4$）は $\int\mathrm{d}^dk/k^4$ となって上端で収束する。発散は $\epsilon\to0$ の極限で $1/\epsilon$ の極として現れる。

この方法の利点は、$d$ 次元の積分測度 $\mathrm{d}^dk$ が Lorentz 変換とゲージ変換の下で自然に振る舞うので、両方の対称性が正則化の段階で保たれることである。真空偏極を計算しても式 (6.1.6) の形が自動的に出る。

技術的な注意が2つある。第一に、4次元では無次元だった結合定数が $d$ 次元では次元を持つ。$\phi^4$ 理論なら $[\mathcal{L}]=d$、$[\phi]=(d-2)/2$ から $[\lambda]=4-d=2\epsilon$ となる。無次元の結合を使い続けるために、任意の質量スケール $\mu$ を導入して$\lambda\to\mu^{2\epsilon}\lambda$ と書く。この $\mu$ をくりこみスケールと呼ぶ。第4章で見るように、$\mu$ は計算の便宜として入れた量でありながら、走る結合定数という物理的な内容を担うことになる。

第二に、極の構造には Euler のガンマ関数が現れる。1ループの計算で必ず出会うのが

$$\Gamma\!\left(2-\frac{d}{2}\right)\bigg|_{d=4-2\epsilon} = \Gamma(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} - \gamma_E + \mathcal{O}(\epsilon)\tag{6.2.3}$$

である（$\gamma_E=0.5772\ldots$ は Euler–Mascheroni 定数）。この展開は検算スクリプト で sympy により確認済みである。