場のくりこみと $Z$ 因子

場の量子論入門　第6部 第3章 §6.3.2　★★ 完全伝播関数の極の留数を1に揃える操作。$Z$ の物理的意味も押さえる。

自己エネルギー $-\mathrm{i}\Sigma(p^2)$ を1粒子既約な図（内線を1本切っても2つに分かれない図）の和として定義すると、完全伝播関数は幾何級数の和として

$$\mathrm{i} G(p) = \frac{\mathrm{i}}{p^2-m_0^2-\Sigma(p^2)}$$

と書ける。物理的質量 $m$ はこの分母が消える点、すなわち

$$m^2 - m_0^2 - \Sigma(m^2) = 0\tag{6.3.3}$$

で定義される。極の近傍で分母を展開すると

$$p^2-m_0^2-\Sigma(p^2) \simeq (p^2-m^2)\bigl[1-\Sigma'(m^2)\bigr]$$

となるので

$$\mathrm{i} G(p) \simeq \frac{\mathrm{i} Z}{p^2-m^2},\qquad Z = \frac{1}{1-\Sigma'(m^2)}\tag{6.3.5}$$

である。$Z$ を場のくりこみ定数と呼ぶ。

$Z$ の物理的な意味は、場の演算子 $\phi_0$ が真空から1粒子状態を作る振幅の2乗である。自由場では $\langle p | \phi_0(0) | 0 \rangle =1$ だが、相互作用があると $\phi_0$ は多粒子状態も作るので、1粒子状態への重なりは1より小さくなる。$Z$ はその割合を表す。くりこまれた場を

$$\phi_r = Z^{-1/2}\phi_0$$

と定義すると、$\phi_r$ の伝播関数は極での留数がちょうど1になる。