カウンター項

カウンター項を含めた振幅は、例題 2.3 の結果に $-\delta_\lambda$ を加えたもの（$\mathrm{i}\mathcal{M}$ に $-\mathrm{i}\delta_\lambda$ が加わる）である。

$$\mathcal{M} = -\lambda - \delta_\lambda + \frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\Bigl[\frac{1}{\epsilon}-\gamma_E+\ln4\pi\Bigr] - \frac{\lambda^2}{32\pi^2}\int_0^1\!\mathrm{d} x\sum_{c=s,t,u}\ln\frac{\Delta_c}{\mu^2}.$$

(1) 最小引き算。　$1/\epsilon$ の項だけを打ち消すように取ると

$$\delta_\lambda^{\rm MS} = \frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\cdot\frac{1}{\epsilon}.$$

実務では $-\gamma_E+\ln4\pi$ が必ず $1/\epsilon$ に随伴するので、これらもまとめて引く$\overline{\rm MS}$ が使われる。

$$\delta_\lambda^{\overline{\rm MS}} = \frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\left[\frac{1}{\epsilon}-\gamma_E+\ln4\pi\right].$$

(2) 運動学的引き算。　対称点では $s=t=u=\frac43m^2$ なので、3つのチャネルの$\Delta$ が等しく $\Delta_0=m^2-\frac43x(1-x)m^2$ になる。条件 $\mathcal{M}|_{\rm sym}=-\lambda$ を課すと

$$\delta_\lambda^{\rm sym} = \frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\left[\frac{1}{\epsilon}-\gamma_E+\ln4\pi -\int_0^1\!\mathrm{d} x\,\ln\frac{\Delta_0(x)}{\mu^2}\right].$$

2つの $\delta_\lambda$ の差は有限であり、$\epsilon\to0$ でも残る。差が有限であることが重要である。どちらのスキームでも発散はきれいに消え、残るのは「$\lambda$ という記号がどの測定値を指すか」の違いだけになる。この違いが物理量に落ちないことを、次の節と例題 3.3 で確かめる。