$\beta$ 関数と走る結合

場の量子論入門　第6部 第4章 §6.4.2　★★ 結合定数のくりこみスケール依存性を微分方程式で書く。

$\overline{\rm MS}$ のようなスキームでは、結合定数の値がくりこみスケール $\mu$ に依存する。その依存性を記述する関数を$\beta$ 関数と呼ぶ。

$\beta$ 関数はカウンター項から読み取れる。裸の結合 $g_0$ は $\mu$ に依らない量なので、$g_0$ を $g(\mu)$ とカウンター項で表した式を $\mu$ で微分してゼロと置けばよい。$\phi^4$ 理論で例題 3.2 の $\delta_\lambda^{\overline{\rm MS}}$ を使うと、$\lambda_0=\mu^{2\epsilon}(\lambda+3\lambda^2/(32\pi^2\epsilon)+\cdots)$ から

$$\beta(\lambda) = \frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$$

が得られる。$\beta>0$ なので $\phi^4$ 理論の結合は高エネルギーで強くなる。