QED の走る結合

場の量子論入門　第6部 第4章 §6.4.3　★★ 1ループの $\beta$ 関数と、$1/\alpha(M_Z)$ の具体的な数値。

QED の真空偏極を1ループで計算すると、$|q^2|\gg m_e^2$ の領域で

$$\Pi(q^2) \simeq \frac{\alpha}{3\pi}\ln\frac{|q^2|}{m_e^2}$$

となる。これを $\beta$ 関数の形に直すと、電子1種類だけを考えた場合

$$\beta(e) = \frac{e^3}{12\pi^2},\qquad\text{同じことだが}\quad \mu\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}\mu}=\frac{2\alpha^2}{3\pi}\tag{6.4.5}$$

である。この微分方程式は $1/\alpha$ について線形になるので、ただちに積分できて

$$\frac{1}{\alpha(\mu)} = \frac{1}{\alpha(m_e)} - \frac{2}{3\pi}\ln\frac{\mu}{m_e}\tag{6.4.6}$$

を得る。$\mu$ を上げると $1/\alpha$ が減る、つまり $\alpha$ が増える。第4.1節の遮蔽の描像と一致している。