QCD の漸近自由

積分。　$\mu\,\mathrm{d}\alpha/\mathrm{d}\mu=2\alpha^2/(3\pi)$ の両辺を $\alpha^2$ で割ると

$$\frac{1}{\alpha^2}\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}\ln\mu}=\frac{2}{3\pi} \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ln\mu}\left(\frac{1}{\alpha}\right)=\frac{2}{3\pi}.$$

$\ln\mu$ について積分すれば式 (6.4.6) を得る。

数値評価。　$\ln(M_Z/m_e)=\ln(91.19/0.000511)=\ln(1.784\times10^5)=12.09$ である。また $2/(3\pi)=0.2122$ なので

$$\frac{1}{\alpha(M_Z)} = 137.036 - 0.2122\times12.09 = 137.036-2.566 = 134.47 \simeq 134.5 .$$

実測との差。　実測値は約 $128$ で、$6$ ほど小さい（つまり実際の $\alpha(M_Z)$ は上の評価より大きい）。原因は、電子だけを走らせたことである。$m_e$ と $M_Z$ の間にはミューオン・タウ、および5種類のクォークが存在し、それぞれの質量を超えると真空偏極に寄与し始める。寄与は電荷の2乗に比例し、クォークは色の自由度で3倍される。これらをすべて含めると $1/\alpha$ の減り方が大きくなり、実測値に近づく。

この数値は 検算スクリプト の「1/alpha(M_Z) = 134.5」で確認してある。