tecktom.com

Landau 極と QED の限界

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第6部 第4章 走る結合とくりこみ群

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第6部 第4章 §6.4.5　★ QED 単独の理論としての破綻点。実際には遥か手前で別の理論に置き換わる。

式 (6.4.6) を素直に外挿すると、1/α(μ)=01/\alpha(\mu)=0 になるスケールが存在する。

μL=meexp⁡ ⁣(3π2α)\mu_{\rm L} = m_e\exp\!\left(\frac{3\pi}{2\alpha}\right)

がそれで、これをLandau 極と呼ぶ。数値を入れると3π/(2α)=645.73\pi/(2\alpha)=645.7 なので log⁡10(μL/GeV)≃277\log_{10}(\mu_{\rm L}/\text{GeV})\simeq277、つまりμL∼10277 \mu_{\rm L}\sim10^{277}\,GeV である（検算スクリプト で確認）。

この値は Planck 質量 1019 10^{19}\,GeV を桁違いに超えている。したがって Landau 極は実際の物理には現れない。現実には MW∼80 M_W\sim80\,GeV で QED は電弱理論の一部に組み込まれ、その先では β\beta 関数の内容が変わる。それでも Landau 極の存在は、QED を単独ですべてのエネルギーに適用できる理論と見なせないことを示している。

例題 4.2（漸近自由の条件）

オリジナル式 (6.4.7) の b0=11−2nf/3b_0=11-2n_f/3 について、漸近自由が成り立つためのクォークの種類数の条件を求めよ。また nf=6n_f=6 での b0b_0 を求め、1111 と −2nf/3-2n_f/3 の2つの寄与の大小を比べよ。

解答

β(g)<0\beta(g)<0 となる条件は b0>0b_0>0、すなわち

11−2nf3>0⟺nf<332=16.5.11-\frac{2n_f}{3}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad n_f<\frac{33}{2}=16.5 .

nfn_f は整数なので nf≤16n_f\le16 で漸近自由である。実際に nf=16n_f=16 ならb0=11−32/3=1/3>0b_0=11-32/3=1/3>0、nf=17n_f=17 なら b0=11−34/3=−1/3<0b_0=11-34/3=-1/3<0 となる。

nf=6n_f=6 では

b0=11−2⋅63=11−4=7.b_0 = 11-\frac{2\cdot6}{3}=11-4=7 .

グルーオンの自己相互作用による寄与 1111 が、クォークによる遮蔽の寄与 44 を大きく上回っている。標準模型のクォークは6種類しかないので、余裕を持って漸近自由が成り立つ。

QED との違いは、QED の光子が電荷を持たないため自己相互作用の項（1111 に相当するもの）を持たず、フェルミオンの遮蔽だけが残る点にある。ゲージ場が自分自身と相互作用するかどうかが符号を決めている。数値は 検算スクリプト の「漸近自由の条件」で確認済みである。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
← AI生成教科書『基礎理論』の記事一覧へ