くりこみ群方程式が言っていること

場の量子論入門　第6部 第4章 §6.4.6　★★ 物理量はスケールの取り方に依らない、という要請の微分形。

くりこみスケール $\mu$ は計算者が選ぶ量であって、自然界には存在しない。したがって、測定できる量は $\mu$ に依存してはならない。この要請を微分方程式にしたものがくりこみ群方程式である。$n$ 点の相関関数 $G^{(n)}$ に対して

$$\left[\mu\frac{\partial}{\partial\mu}+\beta(g)\frac{\partial}{\partial g} +\gamma_m(g)\,m\frac{\partial}{\partial m}-n\gamma(g)\right]G^{(n)}=0\tag{6.4.10}$$

の形をとる。$\gamma$ は場の異常次元、$\gamma_m$ は質量の異常次元と呼ばれる量である。

式 (6.4.10) の読み方は次のとおりである。$\mu$ を変えると $G^{(n)}$ のあらわな $\mu$ 依存性が変わるが、同時に $g(\mu)$ と $m(\mu)$ も変わり、両者がちょうど打ち消し合う。$\mu$ の取り方は物理を変えない。

実務的には、この方程式は大きな対数を足し上げる道具として使われる。エネルギー $Q$ の過程を質量 $m$ の理論で計算すると、摂動の各次数に $\ln(Q/m)$ が現れる。$Q\gg m$ では$g^2\ln(Q/m)$ が1のオーダーになり、摂動展開が信用できなくなる。ところが $\mu\sim Q$ と選べば $\ln(Q/\mu)$ は小さくなり、大きな対数は走る結合 $g(Q)$ の中に吸収される。くりこみ群方程式はこの吸収を正当化する。QCD の高エネルギー過程の計算がこの方法に依存している。