形状因子と $F_2$

場の量子論入門　第6部 第5章 §6.5.2　★★ 頂点関数を2つの形状因子に分けると、$a$ は発散しない部分から出る。

電子と外部電磁場との結合を記述する完全な頂点関数は、Lorentz 不変性・パリティ・カレント保存の要請から、2つのスカラー関数だけで書ける。

$$\Gamma^\mu(p',p) = \gamma^\mu F_1(q^2) + \frac{\mathrm{i}\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}F_2(q^2),\qquad q=p'-p\tag{6.5.3}$$

ここで $\sigma^{\mu\nu}=\frac{\mathrm{i}}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$ である。$F_1$ を電荷形状因子、$F_2$ を Pauli 形状因子と呼ぶ。

$q^2\to0$ の極限では、$F_1(0)$ が電子の電荷を、$F_1(0)+F_2(0)$ が $g/2$ を与える。電荷のくりこみ条件は $F_1(0)=1$ であり、これは第3章の電荷くりこみそのものである。したがって

$$a = F_2(0)$$

となる。

ここが重要な点である。第1.3節で見たとおり、頂点補正の発散は $\gamma^\mu$ に比例する部分、つまり $F_1$ の側だけに現れる。$F_2$ は $q_\nu$ の因子を持つ分だけ発散が弱く、正則化なしで有限である。したがって $a$ はくりこみの入力を1つも使わずに計算できる量、すなわち純粋な予言になる。