Schwinger の計算

場の量子論入門　第6部 第5章 §6.5.3　★★ $a=\alpha/2\pi$。場の量子論が最初に達成した精密な予言。

図 6.1.1(c) の頂点補正を、第2章の手順（Feynman パラメータ、平方完成、Wick 回転）で計算する。分子には $\gamma$ 行列が3つ現れるので、$\sigma^{\mu\nu}q_\nu$ に比例する項を取り出す代数がやや長い。結果だけを書くと、$q^2=0$ で

$$F_2(0) = \frac{\alpha}{2\pi}$$

となる。Feynman パラメータ積分は$F_2(0)=\frac{\alpha}{2\pi}\int_0^1\!\mathrm{d} x\int_0^{1-x}\!\mathrm{d} y\,\frac{2z}{x+y+z}\big|_{z=1-x-y}$の形にまとまり、値が $\alpha/2\pi$ になる。中間の $\gamma$ 行列代数は分量の都合で省略する（Peskin & Schroeder 第6章に完全な導出がある）。

Schwinger が1948年にこの値を得たことが、くりこみの枠組みが正しいという最初の強い証拠になった。発散する理論から有限で正確な予言が出ることを示したからである。