低エネルギーでは重い自由度が見えない

場の量子論入門　第6部 第6章 §6.6.1　★ EFT の出発点。スケールの分離があるときに成り立つ。

エネルギー $E$ の実験では、質量 $M\gg E$ の粒子は実在の粒子として生成されない。仮想的な内線としては現れうるが、その伝播関数は

$$\frac{1}{q^2-M^2}\;\xrightarrow[\ |q^2|\ll M^2\ ]{}\;-\frac{1}{M^2} \left(1+\frac{q^2}{M^2}+\cdots\right)\tag{6.6.1}$$

のように、運動量に依らない定数に潰れる。運動量に依存しない伝播は、位置空間では点状の接触相互作用に対応する。つまり、重い粒子の交換は低エネルギーでは局所的な多点相互作用として見える。

この観察を系統化したものが有効場の理論（effective field theory, EFT）である。手順は次のとおりである。まず、扱いたいエネルギー領域で実在する自由度と、理論が持つべき対称性を決める。次に、その自由度と対称性で書ける相互作用項を質量次元の低い順にすべて書き下す。最後に、各項の係数（Wilson 係数）を実験か、より高いエネルギーの理論との突き合わせ（マッチング）で決める。

一般形は

$$\mathcal{L}_{\rm eff} = \mathcal{L}_{d\le4} + \sum_i \frac{c_i}{M^{d_i-4}}\,\mathcal{O}_i$$

と書ける。$d_i>4$ の演算子は $1/M^{d_i-4}$ で抑制されるので、$E\ll M$ では$(E/M)^{d_i-4}$ の分だけ寄与が小さい。だから、必要な精度に応じて次元の低い項から有限個だけ取れば足りる。図 6.6.1 にスケールの階層を示す。

図 6.6.1　エネルギースケールの階層。各段階で、それより上の自由度を積分消去した有効理論が使われる。$W$ ボソンを積分消去すると Fermi の4点相互作用が残る。