場の量子論入門 第6部 第5章 §6.5.5 ★ 重い未知粒子の寄与は ( m ℓ / M ) 2 (m_\ell/M)^2 ( m ℓ / M ) 2
a a a a a a
質量 M M M a a a ( m ℓ / M ) 2 (m_\ell/M)^2 ( m ℓ / M ) 2 m ℓ m_\ell m ℓ m ℓ m_\ell m ℓ a a a
a μ への寄与 a e への寄与 ∼ ( m μ m e ) 2 ≃ 4.3 × 10 4 \frac{a_\mu\ \text{への寄与}}{a_e\ \text{への寄与}}
\sim \left(\frac{m_\mu}{m_e}\right)^2 \simeq 4.3\times10^4 a e への寄与 a μ への寄与 ∼ ( m e m μ ) 2 ≃ 4.3 × 1 0 4
となる（検算スクリプト で確認）。ミューオンの方が4桁以上敏感である。
この理由から、ミューオンの a μ a_\mu a μ
例題 5.2（新物理への感度の次元解析）
オリジナル 質量 M ≫ m ℓ M\gg m_\ell M ≫ m ℓ λ N P \lambda_{\rm NP} λ NP a ℓ a_\ell a ℓ δ a ℓ ∼ λ N P 2 16 π 2 m ℓ 2 M 2 \delta a_\ell\sim\frac{\lambda_{\rm NP}^2}{16\pi^2}\frac{m_\ell^2}{M^2} δ a ℓ ∼ 16 π 2 λ NP 2 M 2 m ℓ 2 δ a μ \delta a_\mu δ a μ 10 − 9 10^{-9} 1 0 − 9 λ N P ∼ 1 \lambda_{\rm NP}\sim1 λ NP ∼ 1 M M M m μ = 0.106 m_\mu=0.106\, m μ = 0.106
解答 次元解析。 a ℓ a_\ell a ℓ 1 / 16 π 2 1/16\pi^2 1/16 π 2 λ N P 2 \lambda_{\rm NP}^2 λ NP 2 a a a σ μ ν q ν \sigma^{\mu\nu}q_\nu σ μν q ν (6.5.3) で F 2 F_2 F 2 1 / 2 m 1/2m 1/2 m m ℓ m_\ell m ℓ 1 / M 2 1/M^2 1/ M 2
δ a ℓ ∼ λ N P 2 16 π 2 ⋅ m ℓ 2 M 2 \delta a_\ell \sim \frac{\lambda_{\rm NP}^2}{16\pi^2}\cdot\frac{m_\ell^2}{M^2} δ a ℓ ∼ 16 π 2 λ NP 2 ⋅ M 2 m ℓ 2
となる。M → ∞ M\to\infty M → ∞
到達スケールの見積もり。 λ N P = 1 \lambda_{\rm NP}=1 λ NP = 1 δ a μ = 10 − 9 \delta a_\mu=10^{-9} δ a μ = 1 0 − 9
M 2 ∼ m μ 2 16 π 2 δ a μ = ( 0.106 ) 2 158 × 10 − 9 GeV 2 = 1.12 × 10 − 2 1.58 × 10 − 7 GeV 2 = 7.1 × 10 4 GeV 2 . M^2 \sim \frac{m_\mu^2}{16\pi^2\,\delta a_\mu}
= \frac{(0.106)^2}{158\times10^{-9}}\ \text{GeV}^2
= \frac{1.12\times10^{-2}}{1.58\times10^{-7}}\ \text{GeV}^2
= 7.1\times10^{4}\ \text{GeV}^2 . M 2 ∼ 16 π 2 δ a μ m μ 2 = 158 × 1 0 − 9 ( 0.106 ) 2 GeV 2 = 1.58 × 1 0 − 7 1.12 × 1 0 − 2 GeV 2 = 7.1 × 1 0 4 GeV 2 .
よって M ∼ 2.7 × 10 2 M\sim2.7\times10^2\, M ∼ 2.7 × 1 0 2 g − 2 g-2 g − 2 λ N P \lambda_{\rm NP} λ NP λ N P \sqrt{\lambda_{\rm NP}} λ NP
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
