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[GF]=−2[G_F]=-2 は破綻の予告である

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第6部 第6章 有効場の理論

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第6部 第6章 §6.6.3　★★ くりこみ可能でない理論は、自分の適用限界を係数の次元で申告している。

例題 1.2 で見たとおり [GF]=−2[G_F]=-2 である。この事実だけから、Fermi 理論が高エネルギーで使えなくなることが分かる。

断面積 σ\sigma の質量次元は −2-2 である。Fermi 理論の最低次の振幅は GFG_F に比例するので、断面積は GF2G_F^2 に比例する。[GF2]=−4[G_F^2]=-4 なので、次元を合わせるには質量次元 22 の量が必要で、高エネルギーでそれを与えられるのは重心エネルギーの2乗 ss しかない。よって

σ∼GF2 s\sigma \sim G_F^2\,s

となり、エネルギーとともに増大し続ける。

一方、量子力学のユニタリティ（確率の保存）は、各部分波の断面積に上限σJ≲1/s\sigma_J\lesssim1/s を課す。両者は

GF2s∼1s⟹s∼GF−1/2G_F^2 s \sim \frac{1}{s}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt s \sim G_F^{-1/2}

で衝突する。数値を入れると

GF−1/2=293 GeVG_F^{-1/2} = 293\ \text{GeV}

である（検算スクリプト で確認）。Fermi 理論は、このスケールの手前で新しい自由度が現れなければ自己矛盾する、と自ら申告していたことになる。

歴史はこの申告どおりに進んだ。MW=80 M_W=80\,GeV と MZ=91 M_Z=91\,GeV のゲージ粒子がこのスケールの範囲で発見され、WW 交換が接触相互作用を置き換えることで断面積の増大が止まった。くりこみ可能でない理論は「使えない理論」ではなく、「どこまで使えるかを自分で述べる理論」である。

例題 6.2（高次元演算子の抑制を数える）

オリジナル質量 MM で抑制された次元 dd の演算子 Od\mathcal{O}_d（係数 c/Md−4c/M^{d-4}）が、エネルギー EE の過程の振幅に与える相対的な寄与の大きさを見積もれ。E=100 E=100\,GeV、M=10 M=10\,TeV、c=1c=1 として、d=5,6,8d=5,6,8 での寄与を数値で示せ。

解答

見積もり。　振幅は無次元の量（あるいは共通の次元を持つ量）で比較するので、次元 dd の演算子の寄与は、次元4の項に対して

cMd−4×(E で次元を埋める)  ⟹  相対寄与 ∼ c(EM)d−4\frac{c}{M^{d-4}}\times({E}\text{ で次元を埋める}) \;\Longrightarrow\; \text{相対寄与}\ \sim\ c\left(\frac{E}{M}\right)^{d-4}

となる。演算子の次元が1つ上がるごとに E/ME/M が1つ掛かる。

数値。　E/M=100/10000=10−2E/M = 100/10000 = 10^{-2} である。

  • d=5d=5：(10−2)1=10−2(10^{-2})^1 = 10^{-2}
  • d=6d=6：(10−2)2=10−4(10^{-2})^2 = 10^{-4}
  • d=8d=8：(10−2)4=10−8(10^{-2})^4 = 10^{-8}

次元8の演算子は 10−810^{-8} の精度の実験でしか見えない。だから、実用上は次元5と次元6の演算子だけを扱えば足りる。無限個の項を書き下せるにもかかわらず有限個で済むのが、有効場の理論が予言力を持つ理由である。

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