重力と階層問題

場の量子論入門　第6部 第6章 §6.6.5　★ 重力も EFT として扱える。階層問題には触れるにとどめる。

例題 1.2 で見たとおり、重力の結合 $\kappa\sim1/M_{\rm Pl}$ は負の質量次元を持つ。したがって一般相対論を場の量子論として扱うと、くりこみ可能でない理論になる。これは長らく「重力は量子化できない」と言われた根拠だったが、EFT の視点では状況が変わる。$E\ll M_{\rm Pl}$ では次元の高い演算子が $(E/M_{\rm Pl})$ の冪で抑制されるので、有限個の項を取れば低エネルギーの量子重力効果を計算できる。実際、重力ポテンシャルへの量子補正は EFT の方法で計算されている。破綻するのは$E\sim M_{\rm Pl}\sim10^{19}\,$GeV に近づいたときであり、そこでは別の記述が要る。

もう一つ、EFT の視点から自然に浮かぶ問題を挙げておく。標準模型の Higgs 場の質量項は次元2の演算子であり、その係数は $\Lambda^2$ に比例する2次発散を受ける。標準模型を$\Lambda\sim M_{\rm Pl}$ まで有効な理論と考えると、観測されている Higgs 質量（$100\,$GeV のオーダー）を得るには、裸の質量と補正の間に極めて精密な相殺が必要になる。この不自然さを階層問題と呼ぶ。フェルミオンの質量はカイラル対称性に守られて対数発散にとどまり（第1.3節）、ゲージ場の質量はゲージ不変性に守られてゼロに保たれるのに対し、スカラー場の質量を守る対称性が標準模型には無い、という構造の違いが背景にある。

階層問題が本当に解決を要する問題なのか、どのような解決があるのかについては、現在も見解が分かれている。本書ではこれ以上立ち入らない。ここで述べたかったのは、くりこみと EFT の枠組みが「何が自然で何が不自然か」を議論するための言葉を与えている、という点である。