場の量子論入門 第7部 第1章 §7.1.1 ★★ 完全系の挿入だけで経路積分が出る。各段を省略しない
正準量子化では、時刻 0 0 0 x i x_i x i T T T x f x_f x f ⟨ x f ∣ e − i H T / ℏ ∣ x i ⟩ \langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} HT/\hbar} | x_i \rangle ⟨ x f ∣ e − i H T /ℏ ∣ x i ⟩ H H H T T T すべての経路 にわたる和が現れる。
考える系は 1 次元の 1 粒子で、Hamiltonian は
H = p 2 2 m + V ( x ) H=\frac{p^2}{2m}+V(x) H = 2 m p 2 + V ( x )
とする。求めたいのは伝播振幅
K ( x f , T ; x i , 0 ) ≡ ⟨ x f ∣ e − i H T / ℏ ∣ x i ⟩ K(x_f,T;x_i,0)\equiv\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} HT/\hbar} | x_i \rangle K ( x f , T ; x i , 0 ) ≡ ⟨ x f ∣ e − i H T /ℏ ∣ x i ⟩
である。H H H p 2 / 2 m p^2/2m p 2 /2 m V ( x ) V(x) V ( x ) 時間を短く刻めば 分けられる。ε = T / N \varepsilon=T/N ε = T / N
e − i H T / ℏ = ( e − i H ε / ℏ ) N \mathrm{e}^{-\mathrm{i} HT/\hbar}=\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H\varepsilon/\hbar}\bigr)^{N} e − i H T /ℏ = ( e − i H ε /ℏ ) N
と書いた上で、各因子に対して Baker–Campbell–Hausdorff の公式を使う。指数の肩に現れる誤差は交換子 [ p 2 / 2 m , V ] \left[p^2/2m,\,V\right] [ p 2 /2 m , V ] ε 2 \varepsilon^2 ε 2
e − i H ε / ℏ = e − i p 2 ε / 2 m ℏ e − i V ( x ) ε / ℏ + O ( ε 2 ) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} H\varepsilon/\hbar}
=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2\varepsilon/2m\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} V(x)\varepsilon/\hbar}+\mathcal{O}(\varepsilon^2) e − i H ε /ℏ = e − i p 2 ε /2 m ℏ e − i V ( x ) ε /ℏ + O ( ε 2 )
が成り立つ。因子は N = T / ε N=T/\varepsilon N = T / ε N × O ( ε 2 ) = O ( ε ) N\times\mathcal{O}(\varepsilon^2)=\mathcal{O}(\varepsilon) N × O ( ε 2 ) = O ( ε ) N → ∞ N\to\infty N → ∞
次に、隣り合う因子の間に位置の完全系
∫ − ∞ ∞ d x k ∣ x k ⟩ ⟨ x k ∣ = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d} x_k\,| x_k \rangle \langle x_k |=1 ∫ − ∞ ∞ d x k ∣ x k ⟩ ⟨ x k ∣ = 1
を N − 1 N-1 N − 1 ε , 2 ε , … , ( N − 1 ) ε \varepsilon,2\varepsilon,\dots,(N-1)\varepsilon ε , 2 ε , … , ( N − 1 ) ε x 0 = x i x_0=x_i x 0 = x i x N = x f x_N=x_f x N = x f
K = ∫ ∏ k = 1 N − 1 d x k ∏ k = 0 N − 1 ⟨ x k + 1 ∣ e − i H ε / ℏ ∣ x k ⟩ K=\int\prod_{k=1}^{N-1}\mathrm{d} x_k\ \prod_{k=0}^{N-1}\langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} H\varepsilon/\hbar} | x_k \rangle K = ∫ k = 1 ∏ N − 1 d x k k = 0 ∏ N − 1 ⟨ x k + 1 ∣ e − i H ε /ℏ ∣ x k ⟩
という形になる。積分変数 x 1 , … , x N − 1 x_1,\dots,x_{N-1} x 1 , … , x N − 1 折れ線経路すべてにわたる和 である。
残るのは 1 スライスの行列要素の計算で、これは運動量の完全系を挟めば Gauss 積分になる。V ( x ) V(x) V ( x ) ∣ x k ⟩ | x_k \rangle ∣ x k ⟩ x x x e − i V ( x k ) ε / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} V(x_k)\varepsilon/\hbar} e − i V ( x k ) ε /ℏ
例題 1.1（1 スライスの行列要素）
オリジナル 自由粒子の短時間伝播振幅
⟨ x k + 1 ∣ e − i p 2 ε / 2 m ℏ ∣ x k ⟩ \langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2\varepsilon/2m\hbar} | x_k \rangle ⟨ x k + 1 ∣ e − i p 2 ε /2 m ℏ ∣ x k ⟩
を、運動量の完全系 ∫ d p 2 π ℏ ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ = 1 \int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}| p \rangle \langle p |=1 ∫ 2 π ℏ d p ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ = 1 ⟨ x ∣ p ⟩ = e i p x / ℏ \langle x | p \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar} ⟨ x ∣ p ⟩ = e i p x /ℏ
解答 運動量の完全系を挟むと、p p p e − i p 2 ε / 2 m ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2\varepsilon/2m\hbar} e − i p 2 ε /2 m ℏ
⟨ x k + 1 ∣ e − i p 2 ε / 2 m ℏ ∣ x k ⟩ = ∫ d p 2 π ℏ e i p ( x k + 1 − x k ) / ℏ e − i p 2 ε / 2 m ℏ . \langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2\varepsilon/2m\hbar} | x_k \rangle
=\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(x_{k+1}-x_k)/\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2\varepsilon/2m\hbar}. ⟨ x k + 1 ∣ e − i p 2 ε /2 m ℏ ∣ x k ⟩ = ∫ 2 π ℏ d p e i p ( x k + 1 − x k ) /ℏ e − i p 2 ε /2 m ℏ .
Δ x ≡ x k + 1 − x k \Delta x\equiv x_{k+1}-x_k Δ x ≡ x k + 1 − x k p p p
i ℏ ( p Δ x − p 2 ε 2 m ) = − i ε 2 m ℏ ( p − m Δ x ε ) 2 + i m ( Δ x ) 2 2 ℏ ε . \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\Bigl(p\,\Delta x-\frac{p^2\varepsilon}{2m}\Bigr)
=-\frac{\mathrm{i}\varepsilon}{2m\hbar}\Bigl(p-\frac{m\Delta x}{\varepsilon}\Bigr)^{2}
+\frac{\mathrm{i} m(\Delta x)^2}{2\hbar\varepsilon}. ℏ i ( p Δ x − 2 m p 2 ε ) = − 2 m ℏ i ε ( p − ε m Δ x ) 2 + 2ℏ ε i m ( Δ x ) 2 .
第 2 項は p p p ∫ d u e − i a u 2 = π / i a \int\mathrm{d} u\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a u^2}=\sqrt{\pi/\mathrm{i} a} ∫ d u e − i a u 2 = π / i a a = ε / 2 m ℏ > 0 a=\varepsilon/2m\hbar>0 a = ε /2 m ℏ > 0 ε → ε − i 0 \varepsilon\to\varepsilon-\mathrm{i}0 ε → ε − i 0
∫ d p 2 π ℏ e − i ε p 2 / 2 m ℏ = 1 2 π ℏ 2 π m ℏ i ε = m 2 π i ℏ ε . \int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon p^2/2m\hbar}
=\frac{1}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{2\pi m\hbar}{\mathrm{i}\varepsilon}}
=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon}}. ∫ 2 π ℏ d p e − i ε p 2 /2 m ℏ = 2 π ℏ 1 i ε 2 π m ℏ = 2 π i ℏ ε m .
したがって
⟨ x k + 1 ∣ e − i p 2 ε / 2 m ℏ ∣ x k ⟩ = m 2 π i ℏ ε exp [ i ℏ m ( x k + 1 − x k ) 2 2 ε ] . \langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2\varepsilon/2m\hbar} | x_k \rangle
=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon}}\,
\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\frac{m(x_{k+1}-x_k)^2}{2\varepsilon}\Bigr]. ⟨ x k + 1 ∣ e − i p 2 ε /2 m ℏ ∣ x k ⟩ = 2 π i ℏ ε m exp [ ℏ i 2 ε m ( x k + 1 − x k ) 2 ] .
指数の肩は i ℏ ε ⋅ m 2 ( Δ x ε ) 2 \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\varepsilon\cdot\frac m2\bigl(\frac{\Delta x}{\varepsilon}\bigr)^2 ℏ i ε ⋅ 2 m ( ε Δ x ) 2 ε × \varepsilon\times ε × m / 2 m/2 m /2
例題の結果とポテンシャルの因子を合わせると、1 スライスは
⟨ x k + 1 ∣ e − i H ε / ℏ ∣ x k ⟩ = m 2 π i ℏ ε exp { i ε ℏ [ m 2 ( x k + 1 − x k ε ) 2 − V ( x k ) ] } \langle x_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} H\varepsilon/\hbar} | x_k \rangle
=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon}}\,
\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}\varepsilon}{\hbar}\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\varepsilon}\Bigr)^{2}-V(x_k)\Bigr]\Bigr\} ⟨ x k + 1 ∣ e − i H ε /ℏ ∣ x k ⟩ = 2 π i ℏ ε m exp { ℏ i ε [ 2 m ( ε x k + 1 − x k ) 2 − V ( x k ) ] }
となる。これを N N N ( m / 2 π i ℏ ε ) N / 2 (m/2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon)^{N/2} ( m /2 π i ℏ ε ) N /2
K = lim N → ∞ ( m 2 π i ℏ ε ) N / 2 ∫ ∏ k = 1 N − 1 d x k exp { i ℏ ∑ k = 0 N − 1 ε [ m 2 ( x k + 1 − x k ε ) 2 − V ( x k ) ] } . K=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon}\Bigr)^{N/2}
\int\prod_{k=1}^{N-1}\mathrm{d} x_k\
\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\sum_{k=0}^{N-1}\varepsilon\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{k+1}-x_k}{\varepsilon}\Bigr)^{2}-V(x_k)\Bigr]\Bigr\}. K = N → ∞ lim ( 2 π i ℏ ε m ) N /2 ∫ k = 1 ∏ N − 1 d x k exp { ℏ i k = 0 ∑ N − 1 ε [ 2 m ( ε x k + 1 − x k ) 2 − V ( x k ) ] } .
括弧の中は Lagrangian L = m 2 x ˙ 2 − V ( x ) L=\frac m2\dot x^2-V(x) L = 2 m x ˙ 2 − V ( x ) S [ x ] = ∫ 0 T d t L ( x , x ˙ ) S[x]=\int_0^T\mathrm{d} t\,L(x,\dot x) S [ x ] = ∫ 0 T d t L ( x , x ˙ )
∫ D x ≡ lim N → ∞ ( m 2 π i ℏ ε ) N / 2 ∫ ∏ k = 1 N − 1 d x k \int\!\mathcal{D}x\ \equiv\ \lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon}\Bigr)^{N/2}\int\prod_{k=1}^{N-1}\mathrm{d} x_k ∫ D x ≡ N → ∞ lim ( 2 π i ℏ ε m ) N /2 ∫ k = 1 ∏ N − 1 d x k
と定義すれば、Feynman の経路積分
⟨ x f ∣ e − i H T / ℏ ∣ x i ⟩ = ∫ x ( 0 ) = x i x ( T ) = x f D x e i S [ x ] / ℏ \boxed{\ \langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} HT/\hbar} | x_i \rangle =\int_{x(0)=x_i}^{x(T)=x_f}\!\!\mathcal{D}x\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}\ } ⟨ x f ∣ e − i H T /ℏ ∣ x i ⟩ = ∫ x ( 0 ) = x i x ( T ) = x f D x e i S [ x ] /ℏ
を得る。
経路積分が言っていること
始点と終点を固定したとき、量子力学の振幅は、その二点を結ぶあらゆる経路 にe i S [ x ] / ℏ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar} e i S [ x ] /ℏ 絶対値 1 の重み を付けて足し上げたものに等しい。経路の確率ではなく位相を足す点が古典統計と決定的に違う。重みの絶対値が経路によらず 1 なので、どの経路も等しく寄与し、経路の間の位相差だけが物理を決める。
測度の前因子 ( m / 2 π i ℏ ε ) N / 2 (m/2\pi\mathrm{i}\hbar\varepsilon)^{N/2} ( m /2 π i ℏ ε ) N /2 N → ∞ N\to\infty N → ∞ D x \mathcal{D}x D x ∫ D x x ( t 1 ) x ( t 2 ) e i S / ∫ D x e i S \int\mathcal{D}x\,x(t_1)x(t_2)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S}\big/\int\mathcal{D}x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S} ∫ D x x ( t 1 ) x ( t 2 ) e i S / ∫ D x e i S N N N Z [ 0 ] Z[0] Z [ 0 ]
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