自由粒子と調和振動子を実際に計算する

場の量子論入門　第7部 第1章 §7.1.2　★★ 経路積分が本当に計算できる二つの例。以降の Gauss 積分の原型

経路積分が定義できても、実際に積分できなければ意味がない。作用が座標について高々 2 次（Gauss 型）であれば、経路積分は正確に実行できる。自由粒子と調和振動子がその例である。

自由粒子。

$V=0$ のときは $H=p^2/2m$ が単独で指数関数に乗るので、時間を刻む必要がない。例題 1.1 で $\varepsilon\to T$ と置き換えればよく、

$$K_{\text{free}}(x_f,T;x_i,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar T}}\, \exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\frac{m(x_f-x_i)^2}{2T}\Bigr].$$

指数の肩に現れた $m(x_f-x_i)^2/2T$ は、二点を結ぶ等速直線運動（すなわち古典解）に沿った作用$S_{\rm cl}=\frac m2\bigl(\frac{x_f-x_i}{T}\bigr)^2\,T$ に等しい。振幅の位相が古典作用で書けるのは偶然ではなく、次の一般論から従う。

作用が 2 次のときの一般構造。

経路を古典解のまわりの揺らぎに分解する。$x(t)=x_{\rm cl}(t)+y(t)$ と置き、$x_{\rm cl}$ は Euler–Lagrange 方程式を満たし両端の条件 $x_{\rm cl}(0)=x_i$、$x_{\rm cl}(T)=x_f$ を満たすものとする。すると揺らぎ $y$ は両端で消える（$y(0)=y(T)=0$）。作用を $y$ で展開すると

$$S[x_{\rm cl}+y]=S[x_{\rm cl}] +\underbrace{\int_0^T\!\mathrm{d} t\,\frac{\delta S}{\delta x}\Big|_{x_{\rm cl}}y(t)}_{=0} +\frac12\int_0^T\!\mathrm{d} t\,\mathrm{d} t'\,y(t)\frac{\delta^2S}{\delta x(t)\delta x(t')}\Big|_{x_{\rm cl}}y(t')$$

となり、1 次の項は $x_{\rm cl}$ が Euler–Lagrange 方程式の解であることから消える。作用が高々 2 次ならば 3 次以上の項は最初から無いので、この展開は近似ではなく厳密である。測度は平行移動 $x\to x_{\rm cl}+y$ で不変（各時刻の積分変数を定数だけずらすだけ）なので$\mathcal{D}x=\mathcal{D}y$ であり、

$$K=\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\rm cl}/\hbar}\times F(T),\qquad F(T)=\int_{y(0)=y(T)=0}\!\!\mathcal{D}y\ \exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}\int\!\mathrm{d} t\,\mathrm{d} t'\,y\,\frac{\delta^2S}{\delta x\delta x}\,y\Bigr]$$

と分解する。前因子 $F(T)$ は端点 $x_i,x_f$ に依らず $T$ だけの関数であり、古典解が位相を、揺らぎが振幅の大きさを決める、という構造になっている。

調和振動子。

$L=\frac m2\dot x^2-\frac m2\omega^2x^2$ の場合を計算する。古典解は

$$x_{\rm cl}(t)=\frac{x_i\sin\omega(T-t)+x_f\sin\omega t}{\sin\omega T}$$

であり（両端の条件を直接代入すれば確かめられる）、これを作用に代入すると次の例題の結果を得る。

前因子 $F(T)$ も計算できる。揺らぎ $y$ は両端で消えるので、区間 $[0,T]$ で Fourier 正弦級数$y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(n\pi t/T)$ に展開できる。正弦関数の直交性から

$$\frac m2\int_0^T\!\mathrm{d} t\,(\dot y^2-\omega^2y^2) =\frac{mT}{4}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2\Bigl[\Bigl(\frac{n\pi}{T}\Bigr)^{2}-\omega^2\Bigr]$$

となり、各モードが独立な 1 次元 Gauss 積分に分かれる。$\int\mathrm{d} a_n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} c\lambda_na_n^2}\propto\lambda_n^{-1/2}$ なので、$F(T)$ は固有値 $\lambda_n=(n\pi/T)^2-\omega^2$ の積の $-1/2$ 乗に比例する。$\mathcal{D}y$ から $\prod\mathrm{d} a_n$ への変換の Jacobian は $\omega$ に依らないので、自由粒子（$\omega=0$）との比を取ればそれが落ちる。

$$\frac{F_\omega(T)}{F_0(T)}=\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{(n\pi/T)^2-\omega^2}{(n\pi/T)^2}\Bigr]^{-1/2} =\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl[1-\frac{(\omega T)^2}{n^2\pi^2}\Bigr]^{-1/2} =\Bigl(\frac{\sin\omega T}{\omega T}\Bigr)^{-1/2}.$$

最後の等号には無限積の公式 $\sin z=z\prod_{n\ge1}(1-z^2/n^2\pi^2)$ を使った。自由粒子の前因子は既に $F_0(T)=\sqrt{m/2\pi\mathrm{i}\hbar T}$ と分かっているので、

$$F_\omega(T)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar T}}\sqrt{\frac{\omega T}{\sin\omega T}} =\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega T}}$$

を得る。まとめると、調和振動子の伝播振幅は

$$K_{\rm osc}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega T}}\, \exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\bigl[(x_f^2+x_i^2)\cos\omega T-2x_fx_i\bigr]\Bigr\}$$

である。前因子も $\omega\to0$ で $\sqrt{m/2\pi\mathrm{i}\hbar T}$ に帰着し、自由粒子の結果と整合する（検算済み）。$\omega T=n\pi$ で前因子が発散するのは、その時刻に古典軌道がすべて一点に収束する（焦点）ためである。