古典極限と停留位相近似

場の量子論入門　第7部 第1章 §7.1.3　★ 最小作用の原理は仮定でなく結果として出てくる

経路積分は、古典力学がなぜ最小作用の原理に従うのかに答えを与える。重み $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$ は絶対値が 1 なのでどの経路も同じ大きさで寄与し、違いは位相だけである。$\hbar$ が作用の典型的な大きさに比べて十分小さいとき、経路をわずかに変えただけで位相 $S/\hbar$ は大きく回転し、隣り合う経路の寄与は互いに打ち消し合う。

打ち消し合わないのは、経路を変えても作用が変わらない場所、すなわち

$$\frac{\delta S}{\delta x(t)}=0$$

を満たす経路の近傍だけである。これは Euler–Lagrange 方程式そのものであり、古典経路にほかならない。古典経路のまわりでは位相が停留しているので、有限の幅の経路群がそろって同じ位相で足し合わさり、振幅に生き残る。この議論を停留位相近似と呼ぶ。

図 　古典経路と、そのまわりの揺らぎの経路。すべての経路が同じ絶対値 1 の重みで寄与するが、$\hbar$ が小さいと古典経路から外れた経路どうしは位相が乱雑になって打ち消し合う。$\hbar\to0$ で古典経路だけが残る。

「打ち消し合わない幅」も見積もれる。古典経路からのずれを $y$ とすると作用の変化は$\delta S\sim\frac12S''y^2$ 程度であり、位相が $1$ ラジアン以内に収まる条件 $\delta S\lesssim\hbar$ から寄与する経路の幅は $y\lesssim\sqrt{\hbar/S''}$ となる。$\hbar\to0$ でこの幅は潰れ、古典経路だけが残る。逆に $\hbar$ が作用のスケールに比べて無視できない系では幅が広く、複数の古典経路が干渉する。二重スリットの干渉縞は、二つの古典経路の位相差 $\Delta S/\hbar$ が作る縞にほかならない。