場への拡張と生成汎関数の定義

場の量子論入門　第7部 第2章 §7.2.1　★★ 外場 $J$ を付けておくと、微分だけで相関関数が全部取り出せる

前章の $x(t)$ を場 $\phi(x^\mu)$ に置き換えれば、場の量子論の経路積分ができる。自由度が「各時刻に一つの $x$」から「各時刻・各空間点に一つの $\phi$」に増えるだけで、論理は変わらない。この章では自由スカラー場について経路積分を実際に実行し、第2部 で正準量子化から得た Feynman 伝播関数が、同じ形で現れることを確かめる。

自由度の対応は

$$t\ \longrightarrow\ x^\mu=(t,\bm{x}),\qquad x(t)\ \longrightarrow\ \phi(x),\qquad \int\!\mathrm{d} t\,L\ \longrightarrow\ \int\!\mathrm{d}^4x\,\mathcal{L}(\phi,\partial_{\mu}\phi)$$

であり、経路積分の測度は各時空点での $\phi$ の値についての積分$\mathcal{D}\phi=\prod_x\mathrm{d}\phi(x)$ になる。前章と同じく、この積み無限個の積分はそれ単独では発散を含んでいて、意味を持つのは規格化した比だけである。

場の量子論で計算したいのは、真空から真空への振幅と、その中に場の演算子を挟んだ相関関数

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\right\} | 0 \rangle$$

である。これらをまとめて生成するために、外場（源）$J(x)$ を結合させた

$Z[J]$ を $J$ で汎関数微分すると、指数の肩から $\mathrm{i}\phi(x)$ が下りてくる。したがって

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\right\} | 0 \rangle =\frac{1}{Z[0]}\ \frac{1}{\mathrm{i}^n}\frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1)\cdots\delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}$$

が成り立つ。$Z[0]$ で割るのは、測度の発散因子と真空泡（第 3 章）を落とすためである。右辺に時間順序積 $\mathrm{T}$ が現れる理由は次節で述べる。