自由場のガウス積分

指数の肩を平方完成する。$u=v+A^{-1}b$ と置くと、$A$ が対称なので

$$-\frac12u^{\mathrm T}Au+b^{\mathrm T}u =-\frac12v^{\mathrm T}Av+\frac12b^{\mathrm T}A^{-1}b.$$

平行移動なので $\mathrm{d}^nu=\mathrm{d}^nv$ であり、第 2 項は $v$ に依らず外に出る。残った積分は$A$ を直交行列 $O$ で対角化して（$A=O^{\mathrm T}\Lambda O$、$\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$）、$w=Ov$ と変数変換すれば（$\det O=1$ なので測度は不変）

$$\int\!\mathrm{d}^nv\ \mathrm{e}^{-\frac12v^{\mathrm T}Av} =\prod_{k=1}^n\int\!\mathrm{d} w_k\,\mathrm{e}^{-\lambda_kw_k^2/2} =\prod_{k=1}^n\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_k}} =\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}}.$$

最後に $\det A=\prod\lambda_k$ を使った。以上を合わせて主張を得る。この式の構造が経路積分のすべての Gauss 計算の原型である。$b$ に依存する部分は $\frac12b^{\mathrm T}A^{-1}b$、つまり「源を逆行列で結んだ形」であり、逆行列 $A^{-1}$ が伝播関数の役を果たす。なお $A$ の逆行列が存在しない（零固有値がある）ときにこの公式が破れることは、第 5 章でゲージ場の経路積分が発散する理由と同じである。

例題 2.1 と同じく平方完成する。まず $J$ を打ち消す配位 $\phi_c$ を、$(\Box+m^2)\phi_c(x)=J(x)$ の解として取る。$D_F$ の満たす方程式から

$$\phi_c(x)=\mathrm{i}\int\!\mathrm{d}^4y\ D_F(x-y)J(y)$$

と書ける（実際 $(\Box+m^2)\phi_c=\mathrm{i}\cdot(-\mathrm{i})J=J$）。$\phi=\phi_c+\eta$ と置いて指数の肩を展開すると

$$\begin{aligned}&-\frac12(\phi_c+\eta)(\Box+m^2)(\phi_c+\eta)+J(\phi_c+\eta)\\ &=-\frac12\phi_c(\Box+m^2)\phi_c-\eta(\Box+m^2)\phi_c-\frac12\eta(\Box+m^2)\eta+J\phi_c+J\eta\\ &=-\frac12\phi_cJ-\eta J-\frac12\eta(\Box+m^2)\eta+J\phi_c+J\eta \ =\ \frac12 J\phi_c-\frac12\eta(\Box+m^2)\eta.\end{aligned}$$

途中で $(\Box+m^2)\phi_c=J$ と、$\int\phi_c(\Box+m^2)\eta=\int\eta(\Box+m^2)\phi_c$（2 回の部分積分）を使った。$\eta$ の項は $J$ を含まないので、その積分は $J$ に依らない定数 $Z_0[0]$ を与える。残るのは

$$Z_0[J]=Z_0[0]\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{2}\int\!\mathrm{d}^4x\ J(x)\phi_c(x)\Bigr] =Z_0[0]\,\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}}{2}\cdot\mathrm{i}\int\!\mathrm{d}^4x\,\mathrm{d}^4y\ J(x)D_F(x-y)J(y)\Bigr],$$

つまり

$$Z_0[J]=Z_0[0]\,\exp\Bigl[-\frac12\int\!\mathrm{d}^4x\,\mathrm{d}^4y\ J(x)D_F(x-y)J(y)\Bigr].$$

例題 2.1 の $\frac12b^{\mathrm T}A^{-1}b$ が、そのまま $-\frac12\int JD_FJ$ に対応している。