相関関数を微分で取り出す

場の量子論入門　第7部 第2章 §7.2.3　★★★ Wick の定理が微分の Leibniz 則として自動的に出る

$Z_0[J]$ が求まったので、あとは微分するだけである。2 点関数は

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x_1)\phi(x_2)\right\} | 0 \rangle =\frac{1}{Z_0[0]}\frac{1}{\mathrm{i}^2}\frac{\delta^2Z_0}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)}\bigg|_{J=0}.$$

$\exp[-\frac12\!\int\!JD_FJ]$ を 1 回微分すると $-\int D_F(x_1-y)J(y)$ が下り、もう 1 回微分して $J=0$ と置くと $-D_F(x_1-x_2)$ が残る。$1/\mathrm{i}^2=-1$ を掛けて

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x_1)\phi(x_2)\right\} | 0 \rangle =D_F(x_1-x_2)$$

を得る。正準量子化では、時間順序積を場の演算子のモード展開に展開し、$t_1>t_2$ と $t_1<t_2$ の場合分けと $\theta$ 関数の積分表示を経てようやく到達した結果が、ここでは Gauss 積分と 2 回の微分だけで出ている。

4 点関数も同様である。$\mathrm{e}^{W}$（$W=-\frac12\int JD_FJ$）を 4 回微分し、$J=0$ で生き残るのは$J$ をすべて消費した項だけなので、$W$ を 2 個下ろした項が残る。$J$ の 4 個の位置を 2 組に分ける分け方は 3 通りあり、

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi_1\phi_2\phi_3\phi_4\right\} | 0 \rangle =D_F(x_1-x_2)D_F(x_3-x_4)+D_F(x_1-x_3)D_F(x_2-x_4)+D_F(x_1-x_4)D_F(x_2-x_3)$$

となる。これは第3部 の Wick の定理の $n=4$ の場合そのものである。Wick の定理は、経路積分では指数関数の微分に伴う Leibniz 則にほかならない。一般の $2n$ 点関数で完全縮約の数が $(2n-1)!!$ になるのも、$J$ が $2n$ 個を 2 個ずつに組む分け方の数として同じ値が出る（検算済み）。奇数点関数が消えるのは、$W$ が $J$ について偶数次なので $J$ をすべて消費できないからである。