連結生成汎関数と有効作用

場の量子論入門　第7部 第2章 §7.2.5　★ $W[J]$ と $\Gamma$ の一言紹介。第6部 の言葉と繋がる

$Z[J]$ から生成される図には、外線に繋がっていない部分（分離した部品）を含むものも入っている。そうした分離部分を落とした連結な寄与だけを生成する量が $W[J]\equiv-\mathrm{i}\ln Z[J]$ である。対数を取ると指数関数の構造がほどけ、$Z$ の中で「独立な部品の積の和」として現れていた項が落ちる。$W[J]$ の $J$ 微分は連結相関関数を与える。さらに $W$ の Legendre 変換

$$\Gamma[\phi_{\rm cl}]\equiv W[J]-\int\!\mathrm{d}^4x\,J(x)\phi_{\rm cl}(x), \qquad \phi_{\rm cl}(x)\equiv\frac{\delta W}{\delta J(x)}$$

を有効作用と呼ぶ。$\phi_{\rm cl}$ は源 $J$ のもとでの場の期待値であり、$\Gamma$ はそれを独立変数に取り直したものである。$\Gamma$ の $\phi_{\rm cl}$ 微分は1 粒子既約な（内線を 1 本切っても二つに分かれない）図だけを生成する。古典作用 $S$ を量子補正込みに書き換えたものが $\Gamma$ であり、$\delta\Gamma/\delta\phi_{\rm cl}=0$ が量子補正を含む場の方程式になる。第6部 のくりこみと自発的対称性の破れは、この $\Gamma$ の言葉で書くと最も見通しがよい。統計力学との対応では、$W$ が自由エネルギー、$\Gamma$ が Gibbs 自由エネルギーに相当する（第 6 章の対応表）。