相互作用項を微分に置き換える

場の量子論入門　第7部 第3章 §7.3.1　★★★ $\phi\to-\mathrm{i}\delta/\delta J$ の置き換えが摂動展開の全体を作る

第3部 では、相互作用描像と Dyson 級数から出発し、Wick の定理で縮約を数え上げて $\phi^4$ 理論のFeynman 則を得た。この章では同じ規則を経路積分から導く。結果は当然一致するが、導出の過程で対称因子がどこから来るのかが、数え上げの副産物としてではなく$1/4!$ という結合定数の規格化との割り算として明確に見える。

相互作用を含む作用を $S=S_0+S_{\rm int}$ と分けると、生成汎関数は

$$Z[J]=\int\!\mathcal{D}\phi\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\rm int}[\phi]}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(S_0[\phi]+\int J\phi)}$$

と書ける。ここで、指数の肩に $\int J\phi$ がある以上、被積分関数の中の $\phi(z)$ は$J(z)$ での微分で作り出せる。実際

$$\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\delta}{\delta J(z)}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\int J\phi}=\phi(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\int J\phi}$$

なので、$S_{\rm int}[\phi]$ の中の $\phi$ をすべて $-\mathrm{i}\,\delta/\delta J$ で置き換えれば、その因子は積分の外に出せる。すなわち

$$Z[J]=\exp\Bigl\{\mathrm{i} S_{\rm int}\Bigl[-\mathrm{i}\frac{\delta}{\delta J}\Bigr]\Bigr\}\ Z_0[J].$$

$\phi^4$ 理論では $S_{\rm int}=-\frac{\lambda}{4!}\int\mathrm{d}^4z\,\phi^4$ なので、$(-\mathrm{i})^4=1$ から

$$Z[J]=\exp\Bigl[-\frac{\mathrm{i}\lambda}{4!}\int\!\mathrm{d}^4z\ \Bigl(\frac{\delta}{\delta J(z)}\Bigr)^{4}\Bigr]\ Z_0[J].$$

右辺を $\lambda$ で展開し、$Z_0[J]=Z_0[0]\mathrm{e}^{-\frac12\int JD_FJ}$ を微分すれば、すべての図と係数が機械的に出る。以下、$O(\lambda)$ の 2 点関数と 4 点関数を実際に計算する。

図 　$\phi^4$ 理論の頂点と低次のダイアグラム。(a) の頂点因子 $-\mathrm{i}\lambda$ と、(b) の対称因子 $S=2$ が、この章の計算で自動的に出てくる。