対称因子が自動的に出る仕組み

$\lambda$ の 1 次の項は

$$Z^{(1)}[J]=-\frac{\mathrm{i}\lambda}{4!}\int\!\mathrm{d}^4z\ \frac{\delta^4}{\delta J(z)^4}\ Z_0[J]$$

である。2 点関数を得るには、さらに $\delta/\delta J(x)$ と $\delta/\delta J(y)$ を作用させ、最後に $J=0$ と置く。

$Z_0[J]=Z_0[0]\mathrm{e}^{W}$（$W=-\frac12\int JD_FJ$）を微分すると、微分は「$W$ を 1 個下ろして $J$ を 1 個消す」か「既に下りている $D_F$ の残った $J$ を消す」かのどちらかである。$J=0$ で生き残るのは $J$ が完全に消費された項だけなので、6 個の微分（$z$ に 4 個、$x$ と $y$ に 1 個ずつ）が 3 本の $D_F$ に組まれる項を数えればよい。連結な組み方は、次の手順で数えられる。

1. $x$ の微分を、$z$ にある 4 個の微分のどれか 1 個と組む。$4$ 通り。
2. $y$ の微分を、$z$ に残る 3 個のどれか 1 個と組む。$3$ 通り。
3. $z$ に残った 2 個は互いに組むしかない。$1$ 通り。

合計 $4\times3\times1=12$ 通りである（検算済み）。どの組み方も同じ式$\int\mathrm{d}^4z\,D_F(x-z)D_F(0)D_F(z-y)$ を与えるので、

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x)\phi(y)\right\} | 0 \rangle ^{(1)} =\frac{1}{\mathrm{i}^2}\times\Bigl(-\frac{\mathrm{i}\lambda}{4!}\Bigr)\times12\times(-1)^3\!\int\!\mathrm{d}^4z\,D_F(x-z)D_F(0)D_F(z-y)$$

となる。$1/\mathrm{i}^2=-1$、$(-1)^3=-1$、$12/4!=1/2$ をまとめると

$$=\frac12\,(-\mathrm{i}\lambda)\int\!\mathrm{d}^4z\ D_F(x-z)\,D_F(0)\,D_F(z-y).$$

頂点因子は $-\mathrm{i}\lambda$、それに掛かる $1/2$ が対称因子である。$4!=24$ 通りのうち 12 通りしか使えなかったので、$1/4!$ が $1/2$ だけ消え残った。使えなかった理由は明確で、$z$ に残った 2 個の微分を互いに組む操作には、2 本の端の入れ替えという 1 つの自明でない対称性がある。この入れ替えは図を変えないので、独立な組み方として二重に数えてはいけない。

外点は $x_1,\dots,x_4$ の 4 個、頂点 $z$ の微分も 4 個なので、連結な組み方は「4 個の外点を $z$ の 4 個の微分に 1 対 1 で割り当てる」ものに限られる。その割り当ては $4!=24$ 通りあり、どれも同じ式$\int\mathrm{d}^4z\prod_{k=1}^4 D_F(x_k-z)$ を与える。したがって

$$\begin{aligned}\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi_1\phi_2\phi_3\phi_4\right\} | 0 \rangle ^{(1)}_{\rm conn} &=\frac{1}{\mathrm{i}^4}\Bigl(-\frac{\mathrm{i}\lambda}{4!}\Bigr)\times 4!\times(-1)^4\int\!\mathrm{d}^4z\prod_{k=1}^4D_F(x_k-z)\\ &=(-\mathrm{i}\lambda)\int\!\mathrm{d}^4z\prod_{k=1}^4D_F(x_k-z).\end{aligned}$$

$1/4!$ は $4!$ 通りの割り当てで完全に相殺し、対称因子は $1$ である。外線の伝播関数を落として Fourier 変換すれば、第3部 の頂点則「$\phi^4$ の各頂点に $-\mathrm{i}\lambda$、各頂点で運動量保存」がそのまま出る。外点をすべて区別できるツリー図には対称性が無いので $S=1$ になる、という一般則の具体例でもある。