真空泡は規格化で消える

場の量子論入門　第7部 第3章 §7.3.3　★★ $Z[0]$ で割る操作の意味。第3部 の議論の経路積分版

上の計算で「連結な組み方」だけを数えたが、$Z[J]$ には外点に繋がらない部分を含む項も入っている。たとえば $O(\lambda)$ の項には、$z$ の 4 個の微分が 2 本の $D_F$ に自分だけで組み、外点 $x,y$ は別の $D_F$ で直結する項がある。前者は外線を持たない閉じた図であり、真空泡と呼ぶ。

一般に、ある項は「外点に繋がる連結部分」と「外点に繋がらない真空泡の集まり」の積に分解できる。真空泡の集まりの寄与を全次数で足し上げたものを $\mathcal{V}$ と書くと、同種の泡が何個現れてもよいことと、同じ泡を並べ替えても図が変わらないことから、泡の総和は指数関数 $\mathrm{e}^{\mathcal{V}}$ にまとまる。したがって

$$Z[J]=\bigl(\text{外点に繋がる部分の和}\bigr)\times\mathrm{e}^{\mathcal{V}}.$$

$J=0$ と置けば外点に繋がる部分は $1$ になるので $Z[0]=\mathrm{e}^{\mathcal{V}}$ であり、相関関数の定義で $Z[0]$ で割った瞬間に $\mathrm{e}^{\mathcal{V}}$ が消える。真空泡は測度の発散因子と同じく、規格化した相関関数には一切現れない。正準量子化では、この事実は第3部 で「Dyson 級数の分母に現れる $\langle 0 | S | 0 \rangle$ が分子の非連結部分を打ち消す」という形で示された。経路積分では、それが $Z[J]/Z[0]$ という割り算そのものになっている。ただし $\mathcal{V}$ が物理的に無意味なわけではない。$\mathcal{V}$ は真空のエネルギー密度に比例する量で、重力を含めれば宇宙定数として意味を持ち、境界条件を変えたときの差は Casimir 効果として観測される（第2部 第 3 章）。規格化で消えるのは、相関関数を計算する限りにおいてである。