反可換な数とその微分・積分

場の量子論入門　第7部 第4章 §7.4.1　★★ 定義は 3 行。だが Berezin 積分の約束には理由がある

前章までの経路積分は、各時空点で実数（あるいは複素数）を積分するものだった。しかしフェルミオンの場は、正準量子化では反交換関係 $\left\{\psi,\,\psi^\dagger\right\}=\delta$ を満たす演算子である。経路積分で扱うには、積分変数の側を反可換にする必要がある。それが Grassmann 数である。この章では Grassmann 数の代数と積分を定義し、Gauss 積分がボゾンと逆の形になること、そしてそれがフェルミオンループの符号 $(-1)$ の起源であることを示す。

$\theta^2=0$ なので、1 変数の関数は Taylor 展開が 2 項で終わる。

$$f(\theta)=a+b\theta .$$

$n$ 変数なら、$\theta$ を高々 1 個ずつ含む $2^n$ 個の単項式の線形結合である。関数空間が有限次元になる点が通常の解析と決定的に違う。

微分は左微分で定義する。$\partial/\partial\theta_i$ は $\theta_i$ を左端まで持ってきてから取り除く操作であり、移動のたびに符号が付く。たとえば

$$\frac{\partial}{\partial\theta_1}(\theta_1\theta_2)=\theta_2,\qquad \frac{\partial}{\partial\theta_2}(\theta_1\theta_2)=\frac{\partial}{\partial\theta_2}(-\theta_2\theta_1)=-\theta_1 .$$

微分演算子どうしも反可換である。

積分の定義には理由がある。通常の実積分の最も本質的な性質は平行移動不変性$\int\mathrm{d} x\,f(x+a)=\int\mathrm{d} x\,f(x)$ である（Gauss 積分の平方完成も、経路積分の$\phi=\phi_c+\eta$ という置き換えも、この性質に依存していた）。Grassmann 数にも同じ性質を要求すると、積分の形はほぼ一意に決まる。

この定義が平行移動不変性を満たすことは直ちに確かめられる。$\eta$ を別の Grassmann 数として$f(\theta)=a+b\theta$ に $\theta\to\theta+\eta$ を代入すると $f=a+b\eta+b\theta$ となり、積分すると定数部分は落ちて $b$ が残る。もとの $\int\mathrm{d}\theta f(\theta)=b$ と一致する。定数の積分が $0$ でなければこの性質は壊れるので、$\int\mathrm{d}\theta\,1=0$ は選択ではなく帰結である。結果として、Grassmann 数の積分は微分とまったく同じ操作になる。