ガウス積分がひっくり返る

指数の肩を $S\equiv-\sum_{ij}\bar\theta_iA_{ij}\theta_j$ と書く。$S$ は Grassmann 数を 2 個含むので通常の数のように可換に扱えて、$\mathrm{e}^{S}=1+S+\frac12S^2+\cdots$ の展開は$\bar\theta_1\theta_1\bar\theta_2\theta_2$ の項（4 個すべてを含む項）で止まる。Berezin 積分は「すべての変数を 1 個ずつ含む項の係数だけを拾う」操作なので、$\frac12S^2$ の項だけが残る。

$$\frac12S^2=\frac12\sum_{ijkl}\bar\theta_iA_{ij}\theta_j\,\bar\theta_kA_{kl}\theta_l .$$

$\theta_i^2=0$ から、生き残るのは $i\ne k$ かつ $j\ne l$ の項だけである。$(i,k)=(1,2)$ と $(2,1)$、$(j,l)=(1,2)$ と $(2,1)$ の 4 通りを書き下すと、$\frac12$ は $(i,k)$ の入れ替えの 2 重計上を打ち消すので、$(i,k)=(1,2)$ に固定して 2 倍したものに等しい。

$$\frac12S^2=\bar\theta_1A_{11}\theta_1\,\bar\theta_2A_{22}\theta_2+\bar\theta_1A_{12}\theta_2\,\bar\theta_2A_{21}\theta_1 .$$

第 1 項は既に $\bar\theta_1\theta_1\bar\theta_2\theta_2$ の順に並んでいて、係数は $A_{11}A_{22}$ である。第 2 項は $\bar\theta_1\theta_2\bar\theta_2\theta_1$ の順であり、$\theta_1$ を左から 3 番目の位置（$\bar\theta_1$ のすぐ右）まで移す。3 個の Grassmann 数を追い越すので符号は $(-1)^3=-1$、

$$\bar\theta_1\theta_2\bar\theta_2\theta_1=-\bar\theta_1\theta_1\theta_2\bar\theta_2 =+\bar\theta_1\theta_1\bar\theta_2\theta_2\cdot(-1),$$

すなわち係数は $-A_{12}A_{21}$ である。合わせて

$$\mathrm{e}^{S}\Big|_{\text{4 次の項}}=(A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21})\ \bar\theta_1\theta_1\bar\theta_2\theta_2 .$$

規格化 $\int\mathrm{d}\bar\theta\,\mathrm{d}\theta\,\theta\bar\theta=1$ の下で $\int\mathrm{d}\bar\theta\mathrm{d}\theta\,\bar\theta\theta=-1$となる符号を両方の変数について取ると、$I=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}=\det A$ を得る（検算済み）。$n\times n$ でも同様で、$\frac{1}{n!}S^n$ の展開が $\theta$ の並べ替えの符号込みの和を作り、それが行列式の定義（置換の符号付き和）そのものになる。

Berezin 積分は「すべての変数を 1 個ずつ含む項の係数を拾う」操作なので、規格化 $\int\mathrm{d}^n\theta\ \theta_1\theta_2\cdots\theta_n=1$ を基準に取ればよい。変換を代入すると

$$\theta_1\cdots\theta_n=\sum_{j_1,\dots,j_n}M_{1j_1}\cdots M_{nj_n}\ \theta'_{j_1}\cdots\theta'_{j_n}$$

であり、$\theta'$ が反可換なので添字がすべて相異なる項だけが残る。そのとき $\theta'_{j_1}\cdots\theta'_{j_n}=\mathrm{sgn}(\sigma)\,\theta'_1\cdots\theta'_n$（$\sigma$ は $(1,\dots,n)$ を $(j_1,\dots,j_n)$ に移す置換）なので、残った和は置換の符号付き和、すなわち行列式の定義そのものである。

$$\theta_1\cdots\theta_n=(\det M)\ \theta'_1\cdots\theta'_n .$$

両方の変数系で規格化 $\int\mathrm{d}^n\theta'\,\theta'_1\cdots\theta'_n=1$ を保つには、測度が $\mathrm{d}^n\theta=(\det M)^{-1}\mathrm{d}^n\theta'$ でなければならない。通常の実変数では $\mathrm{d}^nx=|\det M|\,\mathrm{d}^nx'$ であったから、ヤコビアンもまた逆向きに現れる。前の例題で Gauss 積分が $\det A$ そのものになったことと、この逆転は同じ根を持っている。