多様体とチャート

物理のための微分幾何入門　第1章 §1.2　★★★ 1枚の座標で覆えない空間を、座標の張り合わせとして扱う。多様体の定義そのもの

球面は1枚の座標で覆えない

単位球面を $S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}$ と書く。球座標の角 $(\theta,\varphi)$ は球面の座標の候補だが、北極と南極では $\varphi$ が決まらない。また、$\varphi=0$ と $\varphi=2\pi$ が同じ点を指すので、方位角の範囲をどこかで切る必要がある。

うまく工夫すれば、球面全体を1枚の座標で表せるかもしれない。しかし次の定理が示すように、それはできない。定理を述べるために、部分集合 $M\subset\mathbb{R}^N$ の上の座標を正確に定める。

証明

そのようなチャートがあったとし、$W=\phi(S^2)$ とおく。チャートの定義から、$W$ は $\mathbb{R}^2$ の空でない開集合である。

$S^2$ は $\mathbb{R}^3$ の有界な閉集合なので、Heine–Borel の定理によりコンパクトである。コンパクト集合の連続写像による像はコンパクトなので、$W$ もコンパクトで、したがって $\mathbb{R}^2$ の有界な閉集合である。

$W$ は $\mathbb{R}^2$ の中で開集合でもあり閉集合でもある。$\mathbb{R}^2$ は連結なので、開集合でもあり閉集合でもある部分集合は、空集合か全体に限られる。よって $W=\mathbb{R}^2$ となり、$W$ が有界であることに反する。

証明で使った性質は「コンパクトであること」だけである。したがって、円 $S^1$・トーラス・$\mathbb{R}^N$ の有界な閉集合になっている回転行列の全体など、コンパクトな空間はどれも1枚のチャートでは覆えない。

立体射影

球面を2枚のチャートで覆う方法を作る。北極 $N=(0,0,1)$ と、球面上の別の点 $q=(x,y,z)$ を結ぶ直線を考える。この直線が赤道面 $z=0$ と交わる点を $(u,v,0)$ とする。この対応 $q\mapsto(u,v)$ を北極からの立体射影と呼ぶ（図 1.3）。

直線は $N+t(q-N)=(tx,\,ty,\,1+t(z-1))$ と書ける。第3成分が0になるのは $t=1/(1-z)$ のときなので、立体射影は次のようになる。

$$\phi_N(x,y,z)=(u,v)=\left(\frac{x}{1-z},\ \frac{y}{1-z}\right)\tag{1.8}$$

逆写像を求める。$\rho^2=u^2+v^2$ とおくと、$x^2+y^2=1-z^2$ から

$$\rho^2=\frac{x^2+y^2}{(1-z)^2}=\frac{(1-z)(1+z)}{(1-z)^2}=\frac{1+z}{1-z}$$

となる。これを $z$ について解き、$x=u(1-z),\ y=v(1-z)$ に入れると次を得る。

$$\phi_N^{-1}(u,v)=\left(\frac{2u}{\rho^2+1},\ \frac{2v}{\rho^2+1},\ \frac{\rho^2-1}{\rho^2+1}\right)\tag{1.9}$$

右辺の3成分の2乗の和は $\bigl(4\rho^2+(\rho^2-1)^2\bigr)/(\rho^2+1)^2=1$ で、確かに球面上にある。

(1.8) と (1.9) はどちらも連続なので、$\phi_N$ は北極を除いた球面から $\mathbb{R}^2$ 全体への同相写像である。同じように、南極 $S=(0,0,-1)$ からの立体射影を

$$\phi_S(x,y,z)=(u',v')=\left(\frac{x}{1+z},\ \frac{y}{1+z}\right)\tag{1.10}$$

で定める。2枚のチャート $(S^2\setminus\{N\},\phi_N)$ と $(S^2\setminus\{S\},\phi_S)$ で球面全体が覆われる。

2枚のチャートが重なる範囲は、両極を除いた $S^2\setminus\{N,S\}$ である。そこでは $(u',v')=\frac{1-z}{1+z}(u,v)$ で、$\frac{1-z}{1+z}=1/\rho^2$ なので、座標変換は

$$(u',v')=\left(\frac{u}{u^2+v^2},\ \frac{v}{u^2+v^2}\right)\qquad\bigl((u,v)\neq(0,0)\bigr)\tag{1.11}$$

となる。原点を除けば、これは滑らかで、逆写像も同じ形の滑らかな写像である。

チャートとアトラス、多様体の定義

球面の例から、一般の定義を取り出す。いくつかのチャートで全体を覆い、チャートの重なりでは座標変換が滑らかであることを要求する。

最後の約束により、もとのアトラスと滑らかにつながるチャートはいつでも付け足してよい。物理で「都合のよい座標を選ぶ」という操作は、この意味でアトラスにチャートを1枚足すことにあたる。

座標近傍の張り合わせ

多様体の定義には、$M$ がどこかの $\mathbb{R}^N$ に入っていることは含まれていない。定義には、チャートの像になる $\mathbb{R}^n$ の開集合と、重なりでの座標変換しか使っていない。逆に、$\mathbb{R}^n$ の開集合をいくつか用意し、重なりで同一視する規則を与えれば、多様体を組み立てられる。

球面はその例である。2枚の平面を用意し、座標をそれぞれ $(u,v)$ と $(u',v')$ とする。原点以外の点を (1.11) で同一視すると、片方の平面の原点はもう一方の平面の無限遠にあたり、全体は球面になる。$\mathbb{R}^3$ を一度も使わずに、球面を2枚の座標近傍の張り合わせとして作れたことになる。

トーラスも同じように作れる。正方形 $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$ の左右の辺を同じ向きに貼り、上下の辺も同じ向きに貼ったものがトーラスである（§1.3 の図 1.4）。チャートは、貼り目をずらした4枚の開いた正方形で作る（各成分の範囲を $(0,2\pi)$ か $(-\pi,\pi)$ に選ぶ）。

すべての座標変換の Jacobi 行列式が正になるようにアトラスを選べるとき、多様体は向き付け可能であるという。立体射影の座標変換 (1.11) の Jacobi 行列式は負になるが、片方のチャートの $v'$ の符号を変えれば正にできる（例題 1.2）。Möbius の帯は向き付けできない多様体の例である（ここでは証明しない）。向きは第12章で微分形式の積分を定義するときに必要になる。

確認テスト

オリジナル

1. 1.2-1 円 $S^1=\{x^2+y^2=1\}$ に、角度の2枚のチャートを置く。1枚目は点 $(-1,0)$ を除いた範囲の角 $\theta\in(-\pi,\pi)$ とする。2枚目は点 $(1,0)$ を除いた範囲の角 $\theta'\in(0,2\pi)$ とする。重なりを求め、そこでの座標変換を書け。
2. 1.2-2 円の北極からの立体射影を $u=x/(1-y)$、南極からの立体射影を $u'=x/(1+y)$ とする。逆写像 $u\mapsto(x,y)$ を求め、重なりで $u'=1/u$ となることを示せ。
3. 1.2-3 球面の2つの半分に、次の2枚のチャートを置く。

$$\phi_1(x,y,z)=(x,y)\quad(z>0),\qquad \phi_2(x,y,z)=(y,z)\quad(x>0)$$

重なりでの座標変換 $\phi_2\circ\phi_1^{-1}$ を書き、その Jacobi 行列式を求めよ。4. 1.2-4 $xz$ 平面の円 $(x-2)^2+z^2=1$ を考える。この円を $z$ 軸のまわりに回してできるトーラスは、1枚のチャートでは覆えないことを示せ。