座標の取り替えとヤコビアン

任意の $x_0\in K$ から $x_{k+1}=T(x_k)$ で点列を作る。仮定を繰り返し使うと、$\left\vert x_{k+1}-x_k\right\vert \le\lambda^k\left\vert x_1-x_0\right\vert$ となる。

$m>k$ なら、三角不等式と等比級数の和から

$$\left\vert x_m-x_k\right\vert \le(\lambda^k+\lambda^{k+1}+\dots+\lambda^{m-1})\left\vert x_1-x_0\right\vert \le\frac{\lambda^k}{1-\lambda}\left\vert x_1-x_0\right\vert$$

を得る。右辺は $k\to\infty$ で0に近づくので、点列は Cauchy 列である。

Cauchy 列は収束し、閉集合 $K$ はその極限 $x^*$ を含む。漸化式の両辺で極限をとると、$T$ の連続性から $x^*=T(x^*)$ となる。別の不動点 $y^*$ があれば、次の不等式が成り立つ。

$$\left\vert x^*-y^*\right\vert =\left\vert T(x^*)-T(y^*)\right\vert \le\lambda\left\vert x^*-y^*\right\vert$$

$\lambda<1$ なので、これは $x^*=y^*$ のときに限る。

手順1（形をそろえる）。$A=J_F(p)$ とおき、次の写像を考える。

$$\tilde F(x)=A^{-1}\bigl(F(p+x)-F(p)\bigr)$$

この写像は $\tilde F(0)=0$ と $J_{\tilde F}(0)=I$ を満たす。

もとの $F$ は、$\tilde F$ に平行移動と正則な線形写像を合成したものである。これらは滑らかな逆写像を持つので、$\tilde F$ について定理を示せば $F$ についても成り立つ。そこで、$p=0,\ F(0)=0,\ J_F(0)=I$ と仮定してよい。

手順2（ずれの評価）。$G(x)=x-F(x)$ とおくと、$J_G(0)=0$ である。Jacobi 行列は連続なので、半径 $r>0$ を小さくとれば、閉球 $\bar B_r$ の上で次の3つが成り立つ。

$$\bar B_r=\{\left\vert x\right\vert \le r\}\subset U,\qquad \left\Vert J_G(x)\right\Vert \le\tfrac12,\qquad \det J_F(x)\neq0\qquad(x\in\bar B_r)$$

ここで $\left\Vert \cdot\right\Vert$ は行列の作用素ノルムである。$x,x'\in\bar B_r$ を結ぶ線分の上で微分積分学の基本定理を使うと

$$G(x)-G(x')=\int_0^1 J_G\bigl(x'+t(x-x')\bigr)(x-x')\,\mathrm{d} t$$

となるので、次の不等式が成り立つ。

$$\left\vert G(x)-G(x')\right\vert \le\tfrac12\left\vert x-x'\right\vert \qquad(x,x'\in\bar B_r)\tag{1.7}$$

手順3（全射）。原点を中心とする半径 $r/2$ の開球から点 $y$ を1つとる。写像 $T_y(x)=y+G(x)$ を考える。$G(0)=0$ と (1.7) から、$x\in\bar B_r$ に対して次が成り立つ。

$$\left\vert T_y(x)\right\vert \le\left\vert y\right\vert +\left\vert G(x)-G(0)\right\vert \le\left\vert y\right\vert +\tfrac12\left\vert x\right\vert <\tfrac r2+\tfrac r2=r$$

したがって $T_y$ は $\bar B_r$ を自分自身に写す。さらに (1.7) から $T_y$ は縮小写像（$\lambda=\frac12$）なので、補題 1.2 により不動点がある。不動点の式 $x=y+x-F(x)$ は $F(x)=y$ と同じである。

手順4（単射と逆写像の連続性）。$x=F(x)+G(x)$ と (1.7) から

$$\left\vert x-x'\right\vert \le\left\vert F(x)-F(x')\right\vert +\left\vert G(x)-G(x')\right\vert \le\left\vert F(x)-F(x')\right\vert +\tfrac12\left\vert x-x'\right\vert$$

となり、$\left\vert x-x'\right\vert \le2\left\vert F(x)-F(x')\right\vert$ を得る。したがって $F$ は $\bar B_r$ の上で単射である。

そこで $W=\{\left\vert y\right\vert <r/2\}$、$V=B_r\cap F^{-1}(W)$ とおく。$V$ は開集合で、$F\colon V\to W$ は全単射である。逆写像 $H$ は、上の不等式から次を満たし、連続である。

$$\left\vert H(y)-H(y')\right\vert \le2\left\vert y-y'\right\vert$$

手順5（微分可能性）。$y\in W$ をとり、$x=H(y)$ とおく。$y+k\in W$ に対して $h=H(y+k)-x$ と定める。$F$ は点 $x$ で微分できるので、次のように書ける。

$$k=F(x+h)-F(x)=J_F(x)\,h+R(h),\qquad \frac{\left\vert R(h)\right\vert }{\left\vert h\right\vert }\to0\quad(h\to0)$$

両辺に $J_F(x)^{-1}$ を掛けると $h=J_F(x)^{-1}k-J_F(x)^{-1}R(h)$ となる。

手順4の不等式から $\left\vert h\right\vert \le2\left\vert k\right\vert$ である。そのため、$k\to0$ なら $h$ も0に近づく。このとき、最後の項は次のように評価できる。

$$\frac{\left\vert J_F(x)^{-1}R(h)\right\vert }{\left\vert k\right\vert }\le2\left\Vert J_F(x)^{-1}\right\Vert \,\frac{\left\vert R(h)\right\vert }{\left\vert h\right\vert }\to0$$

よって $H$ は点 $y$ で微分でき、その Jacobi 行列は (1.6) で与えられる。

手順6（滑らかさ）。(1.6) は $J_H=(J_F\circ H)^{-1}$ と書ける。逆行列の成分は、Cramer の公式により、もとの成分の多項式を行列式で割ったものである。

$H$ が $C^k$ 級だとすると、右辺も同じ回数だけ微分できる。その結果、導関数 $J_H$ が $C^k$ 級になる。これは $H$ が $C^{k+1}$ 級であることを意味する。$k$ についての帰納法で、$H$ は滑らかである。

2点 $a,b\in D$ を、$D$ の中の連続な曲線で結ぶ。その曲線に沿って Jacobi 行列式の値を並べた関数 $t\mapsto\det J_F(c(t))$ は連続で、決して0にならない。もし $a$ と $b$ で符号が違えば、中間値の定理により途中で0になる点があり、仮定に反する。