物理のための微分幾何入門 第1章 §1.3 ★★★ 物理の系の配位空間と状態空間は多様体であり、物理の座標はそのチャートである
配位空間
力学の系が取りうる位置の全体を、その系の配位空間 と呼ぶ。配位空間が n n n n n n q 1 , … , q n q^1,\dots,q^n q 1 , … , q n R n \mathbb{R}^n R n
振り子は円
支点のまわりに平面内で振れる単振り子の位置は、おもりの位置で決まり、それは半径 l l l S 1 S^1 S 1 θ \theta θ θ + 2 π \theta+2\pi θ + 2 π θ ∈ ( − π , π ) \theta\in(-\pi,\pi) θ ∈ ( − π , π ) R \mathbb{R} R
二重振り子はトーラス
平面内の二重振り子の位置は、2本の棒の角 θ 1 , θ 2 \theta_1,\theta_2 θ 1 , θ 2 1.4 の左）。それぞれが円 S 1 S^1 S 1 T 2 = S 1 × S 1 T^2=S^1\times S^1 T 2 = S 1 × S 1 ( θ 1 , θ 2 ) (\theta_1,\theta_2) ( θ 1 , θ 2 ) [ 0 , 2 π ] 2 [0,2\pi]^2 [ 0 , 2 π ] 2
図 1.4 二重振り子の配位空間。左：2本の棒の角 θ 1 , θ 2 \theta_1,\theta_2 θ 1 , θ 2 ( θ 1 , θ 2 ) (\theta_1,\theta_2) ( θ 1 , θ 2 ) θ 1 \theta_1 θ 1 θ 2 \theta_2 θ 2 θ 2 \theta_2 θ 2 θ 1 \theta_1 θ 1
剛体の向きは回転の全体
1点を固定した剛体の位置は、基準の向きからどれだけ回転したかで決まる。回転は行列式が1の直交行列 R R R
S O ( 3 ) = { R ∈ R 3 × 3 : R T R = I , det R = 1 } (1.12) SO(3)=\{R\in\mathbb{R}^{3\times3}: R^{\mathsf T}R=I,\ \det R=1\}\tag{1.12} S O ( 3 ) = { R ∈ R 3 × 3 : R T R = I , det R = 1 } ( 1.12 )
これは R 9 \mathbb{R}^9 R 9 1.4 の例題 1.5 で3次元の多様体であることを示す。各列の長さが1なので有界で、条件が連続関数の等式なので閉集合でもあり、定理 1.6 と同じ理由で1枚のチャートでは覆えない。
S O ( 3 ) SO(3) S O ( 3 ) ( φ , θ , ψ ) (\varphi,\theta,\psi) ( φ , θ , ψ ) θ = 0 \theta=0 θ = 0 φ + ψ \varphi+\psi φ + ψ
空間を自由に動く剛体の配位空間は、重心の位置と向きの組 R 3 × S O ( 3 ) \mathbb{R}^3\times SO(3) R 3 × S O ( 3 )
例題 1.3 回転ベクトルのチャートと境界の同一視 ★
オリジナル 単位ベクトル n \bm n n α \alpha α
R ( α , n ) = I + sin α K + ( 1 − cos α ) K 2 , K = ( 0 − n 3 n 2 n 3 0 − n 1 − n 2 n 1 0 ) R(\alpha,\bm n)=I+\sin\alpha\,K+(1-\cos\alpha)K^2,\qquad
K=\begin{pmatrix}0&-n_3&n_2\\ n_3&0&-n_1\\ -n_2&n_1&0\end{pmatrix} R ( α , n ) = I + sin α K + ( 1 − cos α ) K 2 , K = 0 n 3 − n 2 − n 3 0 n 1 n 2 − n 1 0
ここで K x = n × x K\bm x=\bm n\times\bm x K x = n × x
R ( π , n ) = R ( π , − n ) R(\pi,\bm n)=R(\pi,-\bm n) R ( π , n ) = R ( π , − n ) 回転を回転ベクトル α n \alpha\bm n α n 0 ≤ α ≤ π 0\le\alpha\le\pi 0 ≤ α ≤ π
解答 (1) 軸の向きを反対にすると、K K K − K -K − K K 2 K^2 K 2 α = π \alpha=\pi α = π K K K
R ( π , n ) = I + 2 K 2 R(\pi,\bm n)=I+2K^2 R ( π , n ) = I + 2 K 2
したがって R ( π , n ) = R ( π , − n ) R(\pi,\bm n)=R(\pi,-\bm n) R ( π , n ) = R ( π , − n )
たとえば n = ( 0 , 0 , 1 ) \bm n=(0,0,1) n = ( 0 , 0 , 1 ) I + 2 K 2 = d i a g ( − 1 , − 1 , 1 ) I+2K^2=\mathrm{diag}(-1,-1,1) I + 2 K 2 = diag ( − 1 , − 1 , 1 )
(2) 回転ベクトル α n \alpha\bm n α n π \pi π α < π \alpha<\pi α < π ∣ α n ∣ < π \left\vert \alpha\bm n\right\vert <\pi ∣ α n ∣ < π α = π \alpha=\pi α = π ± π n \pm\pi\bm n ± π n S O ( 3 ) SO(3) S O ( 3 ) π \pi π
熱力学の状態空間
物質量を固定した1成分の単純な流体を考える。平衡状態は2つの量で決まり、平衡状態の全体は2次元の多様体 M \mathcal M M ( S , V ) (S,V) ( S , V ) ( T , V ) (T,V) ( T , V )
これらは同じ点（同じ平衡状態）に別の数の組を割り当てる。たとえば ( S , V ) (S,V) ( S , V ) ( T , V ) (T,V) ( T , V ) V V V
∂ ( T , V ) ∂ ( S , V ) = det ( ( ∂ T / ∂ S ) V ( ∂ T / ∂ V ) S 0 1 ) = ( ∂ T ∂ S ) V = T C V (1.13) \frac{\partial(T,V)}{\partial(S,V)}
=\det\begin{pmatrix}(\partial T/\partial S)_V & (\partial T/\partial V)_S\\ 0 & 1\end{pmatrix}
=\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_V=\frac{T}{C_V}\tag{1.13} ∂ ( S , V ) ∂ ( T , V ) = det ( ( ∂ T / ∂ S ) V 0 ( ∂ T / ∂ V ) S 1 ) = ( ∂ S ∂ T ) V = C V T ( 1.13 )
最後の等号は定積熱容量の定義 C V = T ( ∂ S / ∂ T ) V C_V=T(\partial S/\partial T)_V C V = T ( ∂ S / ∂ T ) V
熱的に安定な系では C V > 0 C_V>0 C V > 0 (1.13) は正である。逆関数定理により、( T , V ) (T,V) ( T , V ) ( S , V ) (S,V) ( S , V ) ( ∂ U / ∂ V ) S (\partial U/\partial V)_S ( ∂ U / ∂ V ) S ( ∂ U / ∂ V ) T (\partial U/\partial V)_T ( ∂ U / ∂ V ) T 2.2 で接ベクトルの言葉で読み直す。
チャートになれない組
組 ( T , P ) (T,P) ( T , P ) ∂ ( T , P ) / ∂ ( S , V ) = ( ∂ P / ∂ V ) T T / C V \partial(T,P)/\partial(S,V)=(\partial P/\partial V)_T\,T/C_V ∂ ( T , P ) / ∂ ( S , V ) = ( ∂ P / ∂ V ) T T / C V ( ∂ P / ∂ V ) T = 0 (\partial P/\partial V)_T=0 ( ∂ P / ∂ V ) T = 0
熱力学の状態空間には、点どうしの距離や角を測る自然な規則（計量）が無い。状態を ( S , V ) (S,V) ( S , V ) 5.5 で扱う。
例題 1.4 理想気体のチャートの取り替え ★★
オリジナル 物質量 n n n ( T 0 , V 0 , S 0 ) (T_0,V_0,S_0) ( T 0 , V 0 , S 0 )
S = 3 2 n R ln T T 0 + n R ln V V 0 + S 0 S=\tfrac32nR\ln\frac{T}{T_0}+nR\ln\frac{V}{V_0}+S_0 S = 2 3 n R ln T 0 T + n R ln V 0 V + S 0
( S , V ) (S,V) ( S , V ) ( T , V ) (T,V) ( T , V ) (1.13) の T / C V T/C_V T / C V n = 1 m o l n=1\ \mathrm{mol} n = 1 mol T = 300 K T=300\ \mathrm{K} T = 300 K 1 J / K 1\ \mathrm{J/K} 1 J/K R = 8.314 J / ( m o l K ) R=8.314\ \mathrm{J/(mol\,K)} R = 8.314 J/ ( mol K )
解答 (1) S S S T T T
T ( S , V ) = T 0 ( V 0 V ) 2 / 3 exp ( 2 ( S − S 0 ) 3 n R ) T(S,V)=T_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^{2/3}\exp\!\left(\frac{2(S-S_0)}{3nR}\right) T ( S , V ) = T 0 ( V V 0 ) 2/3 exp ( 3 n R 2 ( S − S 0 ) )
体積を固定して S S S ( ∂ T / ∂ S ) V = 2 T / ( 3 n R ) (\partial T/\partial S)_V=2T/(3nR) ( ∂ T / ∂ S ) V = 2 T / ( 3 n R ) C V = 3 2 n R C_V=\frac32nR C V = 2 3 n R (1.13) から Jacobi 行列式は T / C V T/C_V T / C V
(2) C V = 3 2 × 8.314 = 12.47 J / K C_V=\frac32\times8.314=12.47\ \mathrm{J/K} C V = 2 3 × 8.314 = 12.47 J/K
T C V = 300 12.47 = 24.06 K 2 / J \frac{T}{C_V}=\frac{300}{12.47}=24.06\ \mathrm{K^2/J} C V T = 12.47 300 = 24.06 K 2 /J
線形近似では、Δ S = 1 J / K \Delta S=1\ \mathrm{J/K} Δ S = 1 J/K 24.06 K 24.06\ \mathrm{K} 24.06 K T = 300 exp ( 1 / 12.47 ) = 325.05 K T=300\exp\bigl(1/12.47\bigr)=325.05\ \mathrm{K} T = 300 exp ( 1/12.47 ) = 325.05 K 25.05 K 25.05\ \mathrm{K} 25.05 K
確認テスト
オリジナル
1.3-1 次の系の配位空間を多様体として答え、その次元を書け。
(a) 長さ l l l (b) 平面内の三重振り子。(c) 長さ l l l (d) 空間を自由に運動する剛体。
1.3-2 Euler 角を次で定める。
R ( φ , θ , ψ ) = R z ( φ ) R x ( θ ) R z ( ψ ) R(\varphi,\theta,\psi)=R_z(\varphi)\,R_x(\theta)\,R_z(\psi) R ( φ , θ , ψ ) = R z ( φ ) R x ( θ ) R z ( ψ )
ここで R z R_z R z R x R_x R x θ = 0 \theta=0 θ = 0 φ + ψ \varphi+\psi φ + ψ ( φ , θ , ψ ) ↦ R (\varphi,\theta,\psi)\mapsto R ( φ , θ , ψ ) ↦ R 1.3-3 理想気体 P V = n R T PV=nRT P V = n R T ∂ ( T , P ) / ∂ ( S , V ) \partial(T,P)/\partial(S,V) ∂ ( T , P ) / ∂ ( S , V ) ( T , P ) (T,P) ( T , P ) 1.3-4 内部エネルギー U ( S , V ) U(S,V) U ( S , V ) T = ( ∂ U / ∂ S ) V T=(\partial U/\partial S)_V T = ( ∂ U / ∂ S ) V ( S , V ) (S,V) ( S , V ) ( U , V ) (U,V) ( U , V ) ( U , V ) (U,V) ( U , V )
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
