計量が無い空間

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.5　★★★ 計量は多様体に後から足す構造で、物理の空間には計量が備わっていないものも多い。長さや角を言う前に、計量があるかを確かめる

計量は追加の構造

多様体と座標だけでは、接ベクトルの長さも角も決まらない。長さを決めるには、§5.1 の意味の計量を、物理の理由に基づいて1つ選ぶ必要がある。Euclid 空間では、剛体で測った長さから計量が決まる。

物理で扱う空間の中には、どの計量を選んでも物理の法則と両立しないもの、そもそも計量を選ぶ理由が無いものがある。ここでは3つの例を調べる。どの例でも、計量を使わずに言えること（1形式・曲線の接し方・2形式の面積）は意味を持つ。

Galilei の時空：$(x,t)$ 平面

非相対論の物理の時空を、1次元の空間に限って $(x,t)$ 平面で考える。速度 $v$ で動く慣性系への取り替え（Galilei 変換）は $x'=x-vt,\ t'=t$ である。変位は次のように変わる。

$$(\mathrm{d} x',\ \mathrm{d} t')=(\mathrm{d} x-v\,\mathrm{d} t,\ \mathrm{d} t)$$

物理の法則がすべての慣性系で同じ形をとるなら、時空に置く計量も Galilei 変換で変わってはならない。

証明

$Q$ に変換後の変位を入れて展開する。

$$A(\mathrm{d} x-v\mathrm{d} t)^2+2B(\mathrm{d} x-v\mathrm{d} t)\mathrm{d} t+C\mathrm{d} t^2 =A\,\mathrm{d} x^2+2(B-Av)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} t+(Av^2-2Bv+C)\,\mathrm{d} t^2$$

これがすべての $v$ で元の2次形式と等しいためには、交差項の係数から $Av=0$ が要る。0でない $v$ をとれば $A=0$ である。

すると時間の2乗の係数の条件は $-2Bv=0$ となり、$B$ も0になる。逆に $Q=C\,\mathrm{d} t^2$ は、$\mathrm{d} t'=\mathrm{d} t$ なので不変である。この2次形式は $(1,0)$ 方向のベクトルに0を返すので、退化している。

定理から、Galilei の時空には非退化な計量が無いことがわかる。時空に残る構造は2つである。

1. 時間の1形式 $\mathrm{d} t$。2つの事象の時間差は、すべての慣性系で同じ値になる。
2. 同時刻の直線の上の距離 $\mathrm{d} x^2$。同時刻の2点の間でだけ意味を持つ。

図 5.5 のように $(x,t)$ 平面を紙に描くと、紙の Euclid 計量 $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} t^2$ を使ってしまいやすい。この計量は Galilei 変換で不変でない。そのうえ、長さの2乗と時間の2乗という次元の違う量を足している。

相対論では、光速 $c$ が $c^2\mathrm{d} t^2$ の形で次元をそろえる。そして Lorentz 変換で不変な Minkowski 計量 (5.19) が定まる。Galilei の時空は光速を無限大にした極限で、このとき計量は退化した $\mathrm{d} t^2$ と同時刻の直線の $\mathrm{d} x^2$ に分かれる。

熱力学の状態空間

単一成分の気体の平衡状態は2つの変数で決まり、状態空間は2次元の多様体である。$(S,V),\ (T,V),\ (p,V)$ は、どれも同じ点を指す別の座標である（第1章 §1.3）。内部エネルギーの微分

$$\mathrm{d} U=T\,\mathrm{d} S-p\,\mathrm{d} V$$

は1形式で、温度と圧力の符号を変えたものはその成分である（第3章 §3.2）。

成分の組 $(T,-p)$ は、内部エネルギーの勾配ベクトルではない。勾配ベクトルにするには、§5.2 のとおり計量で添字を上げる必要がある。状態空間には、その計量が備わっていない。

$p\text{–}V$ 図に等温線と断熱線を描くと、2本の線のなす「角」が見える。しかしこの角は、縦軸と横軸の目盛りの取り方で変わる（例題 5.8）。目盛りの選び方は紙の上の計量 $\mathrm{d} V^2+\mathrm{d} p^2$ の選び方で、熱力学はそれを指定しない。

一方、2本の線の傾きの比は、軸の目盛りの取り替えでは変わらない。目盛りを取り替えると、両方の傾きに同じ因子が掛かるからである。理想気体では、この比は比熱比 $\gamma$ に等しい。

相空間

Hamilton 力学の相空間は座標 $(q,p)$ を持つ。$q$ の次元は長さで、$p$ の次元は運動量である。そのため $\mathrm{d} q^2+\mathrm{d} p^2$ は次元の違う量の和で、物理の意味を持たない。相空間に備わっている構造は計量ではなく、2形式 $\omega=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} q$ である（第14章）。

正準変換は、この2形式を保つ変換である。例として、正の定数 $\lambda$ による $Q=\lambda q,\ P=p/\lambda$ を考える。$\mathrm{d} P\wedge\mathrm{d} Q=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} q$ なので2形式は保たれ、相空間の領域の面積（Liouville の体積）も保たれる。一方、2点の Euclid 距離は保たれない（確認テスト 5.5-3）。

調和振動子の軌道は $(q,p)$ 平面の楕円である。運動量を $m\omega_0$ で割った座標を使うと、軌道は円になる。円に見えるのは単位の選び方の結果で、相空間の構造から出たものではない。相空間で座標によらない意味を持つのは、軌道が囲む面積のように2形式だけで決まる量である。

確認テスト

オリジナル

1. 5.5-1 相空間の座標 $(q,p)$ に対して $\mathrm{d} q^2+\mathrm{d} p^2$ を計量と呼べない理由を、物理量の次元から1文で述べよ。
2. 5.5-2 Galilei 変換の速度を $2\,\mathrm{m/s}$ とする。$(x,t)$ 平面の変位 $(\Delta x,\Delta t)=(3\,\mathrm{m},\ 1\,\mathrm{s})$ を、この変換で移した変位を求めよ。1 m と 1 s を同じ長さとみなした「紙の上の長さ」が、変換の前後で変わることを確かめよ。時間差 $\Delta t$ は変わらないことも確かめよ。
3. 5.5-3 正準変換 $Q=\lambda q,\ P=p/\lambda$（$\lambda>0$）を考える。相空間の原点と点 $(1,0)$ の Euclid 距離が $\lambda$ 倍になることを示せ。一方、単位正方形 $0\le q,p\le1$ の像の面積が1のままであることを示せ。
4. 5.5-4 圧力と体積の図で、2つの単位をそれぞれ $a$ 倍と $b$ 倍に取り替える。点を通る任意の2曲線の傾きの比が変わらないことを示せ。一方、2曲線のなす角は一般に変わる。このことを、例題 5.8 の数値を使わずに、紙の上の傾き $s_1,\ s_2$ の式で示せ。