この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.6

計量は各点の接空間に入れた内積で、成分は $(0,2)$ 型テンソルとして $g'=J^{\mathsf T}gJ$ と変換する。曲線の長さ (5.4) と角 (5.5) は、この内積から決まる。体積要素 $\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\mathrm{d}^nx$ は座標によらない（定理 5.5）。行列式の変換と重積分の変数変換で出る因子が、互いに打ち消し合うからである。

計量が非退化なら、添字の上げ下げでベクトルと1形式が1対1に対応する（定理 5.6）。関数の微分 $\mathrm{d} f$ は計量なしで決まる1形式で、勾配ベクトル $g^{ij}\partial_jf$ はそれを計量で上げたものである。発散とラプラシアンの一般形 (5.12)・(5.13) は、座標の箱を通る流束から導いた。直交座標系のスケール因子の公式は、その特別な場合である。

座標基底は正規直交とは限らない。斜交座標と二重振り子の配位空間では直交せず、極座標では直交するが正規でない。正規直交枠はいつでも作れるが、一般には座標基底にならない（命題 5.11）。

物理では、運動エネルギーの係数が配位空間の Riemann 計量になる。特殊相対論の時空は、符号数 $(+,-,-,-)$ の Minkowski 計量を持つ。Galilei の時空・熱力学の状態空間・相空間には計量が無く、そこでは1形式や2形式で議論する。

次の章からは、計量を具体的な対象に使う。第6章と第7章では、Euclid 空間の計量を曲線と曲面に制限したもの（曲面では第一基本形式）を調べる。第8章では計量の微分から Christoffel 記号を作り、第10章では運動エネルギーの計量の測地線として自由運動を読む。第12章では計量から Hodge 双対 $\star$ を作り、第14章では相空間の計量でない構造 $\omega$ を扱う。