曲線座標の勾配・発散・ラプラシアン

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.3　★★★ 発散とラプラシアンの一般の公式 $\frac{1}{\sqrt g}\partial_i(\sqrt g\,g^{ij}\partial_jf)$ を計量から導く。スケール因子の公式はその特別な場合

発散を流束から定める

ベクトル場 $V$ の発散は、小さな領域から外へ出る流束を、その領域の体積で割った極限である。この定義は座標を使わない。座標の小さな箱を領域にとって極限を計算すると、計量を使った公式が得られる。

流束を計量で表すには、補題 5.4 を使う。面 $x^1=c$ の小さな片をとり、その辺を $\Delta x^2\partial_2,\dots,\Delta x^n\partial_n$ とする。短い時間 $\Delta\tau$ の間に、流れがこの片を通って運ぶ体積を考える。それは、辺 $V\Delta\tau$ とこの片の辺が張る平行体の体積である。

補題の行列 $M$ の第1列は $V\Delta\tau$ の成分である。残りの列は $\Delta x^a\partial_a$ の成分になる。したがって $\det M=V^1\Delta\tau\,\Delta x^2\cdots\Delta x^n$ である。単位時間あたりに直すと、面の片を $x^1$ の増える向きへ通る流束は

$$\Phi_1=\sqrt g\,V^1\,\Delta x^2\cdots\Delta x^n\tag{5.11}$$

となる。$V^1<0$ なら負の値になり、逆向きに通ることを表す。

証明

点 $x$ を頂点とし、辺が $\Delta x^1,\dots,\Delta x^n$ の座標の箱をとる。$x^1$ 方向に向かい合う2つの面を通って外へ出る流束は、(5.11) から

$$\Bigl[\sqrt g\,V^1\Bigr]_{x^1+\Delta x^1}\Delta x^2\cdots\Delta x^n-\Bigl[\sqrt g\,V^1\Bigr]_{x^1}\Delta x^2\cdots\Delta x^n =\partial_1\bigl(\sqrt g\,V^1\bigr)\Delta x^1\cdots\Delta x^n+\mathcal{O}(\Delta^{n+1})$$

である。ここで $\mathcal{O}(\Delta^{n+1})$ は、箱の辺について $n+1$ 次以上の項を表す。

ほかの方向の面の組も同じように計算して、すべてを足す。外へ出る流束の合計は $\partial_i(\sqrt g\,V^i)\,\Delta x^1\cdots\Delta x^n$ になる。箱の体積は $\sqrt g\,\Delta x^1\cdots\Delta x^n$ なので、比をとって箱を小さくすると (5.12) を得る。(5.13) は、(5.12) に勾配の成分 (5.10) を代入した式である。

直交座標の Euclid 空間では、$\sqrt g=1$ で逆計量は単位行列である。このとき (5.12) は $\partial_iV^i$ に戻り、(5.13) は $\sum_i\partial_i^2f$ に戻る。第9章で共変微分を定義すると、(5.12) は $\nabla_iV^i$ と同じ式であることが示せる。相対論入門 第8章でも、同じ公式を Christoffel 記号から導いている。

座標基底と正規直交枠

計量が対角になる座標を直交座標系と呼ぶ（直線の格子とは限らない）。

$$g=\mathrm{diag}\bigl(h_1^2,\ h_2^2,\dots,h_n^2\bigr),\qquad h_i=\left\Vert \partial_i\right\Vert =\sqrt{g_{ii}}$$

$h_i$ をスケール因子と呼ぶ。座標基底を長さ1にそろえた $\hat{\bm{e}}_i=\partial_i/h_i$ を正規直交枠と呼ぶ。

物理の本でベクトルの「成分」と言うときは、多くの場合、正規直交枠での成分 $A_{\hat i}$ を指す。座標基底での成分 $A^i$ との関係は、$A=A^i\partial_i=\sum_iA_{\hat i}\hat{\bm{e}}_i$ から決まる。答えは $A_{\hat i}=h_iA^i$（和をとらない）である。これを定理 5.9 に代入すると、直交座標系での公式が出る。

証明

対角の計量では $\sqrt g=h$ で、逆計量は $g^{ii}=1/h_i^2$ である。勾配の座標基底の成分は $(\operatorname{grad}f)^i=h_i^{-2}\partial_if$ である。正規直交枠の成分はその $h_i$ 倍で、$h_i^{-1}\partial_if$ になる。

発散は、(5.12) に $A^i=A_{\hat i}/h_i$ を入れて得られる。ラプラシアンは、(5.13) に $g^{ii}=1/h_i^2$ を入れれば得られる。

電磁気学入門 第1章 §1.4 の曲線座標の公式は、この系の円柱座標と球座標の場合である。球座標のスケール因子は $(h_r,h_\theta,h_\varphi)=(1,\ r,\ r\sin\theta)$ である。

正規直交枠は座標基底とは限らない

正規直交枠は、どの点でも Gram–Schmidt の方法で作れる。しかし、それが何かの座標の座標基底になっているとは限らない。

証明

そのような座標があったとする。双対基底は $\mathrm{d} u,\ \mathrm{d} w$ である。一方、正規直交枠の双対基底は $\mathrm{d} r,\ r\,\mathrm{d}\theta$ である。双対基底は基底から一通りに決まるので、$\mathrm{d} w=r\,\mathrm{d}\theta$ でなければならない。

成分で書くと $\partial w/\partial r=0$ と $\partial w/\partial\theta=r$ である。2つ目の式を $r$ で微分すると、混合偏微分 $\partial^2w/\partial r\partial\theta$ は1になる。1つ目の式を $\theta$ で微分すると、同じ混合偏微分は0になる。滑らかな関数の2階偏微分は順序によらないので、これは矛盾である。

確認テスト

オリジナル

1. 5.3-1 平面の極座標の点 $(r,\theta)=(3,\pi/4)$ で、ベクトル $v=\partial_\theta$ の長さを答えよ。正規直交枠での成分 $v_{\hat\theta}$ も答えよ。
2. 5.3-2 円柱座標（確認テスト 5.1-2）のラプラシアンを、一般形 (5.13) から書け。さらに、正の整数 $m$ について $\rho^m\cos m\phi$ のラプラシアンが0になることを示せ。
3. 5.3-3 3次元の球座標で、2つのベクトル場 $V=\partial_r,\ W=r^{-2}\partial_r$ の発散を求めよ（原点を除く）。$W$ の発散が0になることを、原点を中心とする球面を通る流束の言葉で説明せよ。
4. 5.3-4 2次元で、計量が $\mathrm{d} s^2=h^2(\mathrm{d} u^2+\mathrm{d} w^2)$ の形（等角な座標）とする。ラプラシアンが $h^{-2}(\partial_u^2+\partial_w^2)$ になることを示せ。これを平面の対数極座標 $u=\ln r,\ w=\theta$ に使い、ラプラシアンが $\mathrm{e}^{-2u}(\partial_u^2+\partial_w^2)$ になることを導け。