計量テンソルと線素

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.1　★★★ 計量は各点の接空間の内積。長さ・角・体積はすべて成分 $g_{ij}$ と行列式 $\left\vert g\right\vert$ で書ける

第2章で接ベクトル、第3章で1形式、第4章でテンソルを定義した。ここまでの道具では、1つの接ベクトルの長さも、2つの接ベクトルのなす角も言えない。接空間はただのベクトル空間で、ベクトル空間には内積が備わっていないからである。

各点の接空間に内積を1つずつ与える構造を計量と呼ぶ。この章では、計量の定義と座標変換の規則を書き、長さ・角・体積を計量で表す（§5.1）。続いて、計量を使ってベクトルと1形式を対応させる操作（添字の上げ下げ）を定め、勾配がベクトルになるには計量が要ることを示す（§5.2）。

§5.3 では、発散とラプラシアンの一般の公式を計量から導く。同じ節で、座標基底が正規直交になるのはどんなときかを調べる。§5.4 では、運動エネルギーの係数が配位空間の計量になることと、Minkowski 計量が正定値でないことを扱う。最後の §5.5 では、$(x,t)$ 平面・熱力学の状態空間・相空間の3つを例に、計量が備わっていない空間を調べる。

前の章から使う結果を1回ずつ書いておく。座標 $x^i$ の座標基底を $\partial_i=\partial/\partial x^i$ と書く（第2章 §2.2）。双対基底は $\mathrm{d} x^i$ と書く（第3章 §3.1）。別の座標 $x'^i$ へ移ると、基底と成分は

$$\partial'_i=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\,\partial_k,\qquad v'^i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^k}\,v^k,\qquad \mathrm{d} x'^i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^k}\,\mathrm{d} x^k$$

と変わる。

$(0,2)$ 型テンソル $T$ の成分は、次のように変わる（第4章 §4.2）。

$$T'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}\,T_{kl}$$

和は第3章 §3.1 の総和規約で書く。

定義

平面の直交座標では、変位 $(\mathrm{d} x,\mathrm{d} y)$ の長さの2乗は $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ である。極座標で同じ変位を書くと $\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2$ になり、係数が座標によって変わる。係数の組を、座標を取り替えても意味の変わらない1つの対象としてまとめたものが計量テンソルである。

計量は、第4章の言葉では対称な $(0,2)$ 型テンソル場である。接ベクトル $v=v^i\partial_i$ と $w=w^j\partial_j$ を入れると、双線形性から

$$g(v,w)=g_{ij}\,v^iw^j\tag{5.1}$$

となる。成分の対称性 $g_{ij}=g_{ji}$ は、内積の対称性 $g(v,w)=g(w,v)$ の言い換えである。

$g$ をテンソル積で書くと $g=g_{ij}\,\mathrm{d} x^i\otimes\mathrm{d} x^j$ である。物理では、これを

$$\mathrm{d} s^2=g_{ij}\,\mathrm{d} x^i\mathrm{d} x^j\tag{5.2}$$

と書いて線素と呼ぶ。$\mathrm{d} s^2$ は「座標が $\mathrm{d} x^i$ だけ変わる無限小の変位の長さの2乗」と読む。

座標変換の規則

計量は $(0,2)$ 型テンソルなので、成分は第4章の変換則に従う。行列の形で書いておくと計算に使いやすい。

証明

定義から $g'_{ij}=g(\partial'_i,\partial'_j)$ である。基底の変換則 $\partial'_i=J^k{}_i\,\partial_k$ を代入し、双線形性を使うと

$$g'_{ij}=J^k{}_iJ^l{}_j\,g(\partial_k,\partial_l)=J^k{}_iJ^l{}_j\,g_{kl}$$

となる。右辺は行列の積 $(J^{\mathsf T}gJ)_{ij}$ である。

長さと角

曲線を $x^i(\lambda),\ a\le\lambda\le b$ と表す。その速度は $\dot x=\dot x^i\partial_i$ である（第2章 §2.1）。Riemann 計量があれば、速度の長さを積分して曲線の長さを

$$L=\int_a^b\sqrt{g_{ij}(x(\lambda))\,\dot x^i\dot x^j}\;\mathrm{d}\lambda\tag{5.4}$$

と定める。

証明

連鎖律から $\mathrm{d} x^i/\mathrm{d}\mu=(\mathrm{d} x^i/\mathrm{d}\lambda)(\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d}\mu)$ である。根号の中は $(\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d}\mu)^2$ 倍になる。$\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d}\mu>0$ なので、この因子は根号の外へ $\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d}\mu$ として出る。

$$\int\sqrt{g_{ij}\frac{d x^i}{d \mu}\frac{d x^j}{d \mu}}\,\mathrm{d}\mu=\int\sqrt{g_{ij}\frac{d x^i}{d \lambda}\frac{d x^j}{d \lambda}}\;\frac{d \lambda}{d \mu}\,\mathrm{d}\mu =\int\sqrt{g_{ij}\frac{d x^i}{d \lambda}\frac{d x^j}{d \lambda}}\,\mathrm{d}\lambda$$

最後の等号は置換積分である。

長さは座標の取り替えにもよらない。被積分関数の $g_{ij}\dot x^i\dot x^j$ は、計量に1つの接ベクトルを2回入れた値 $g(\dot x,\dot x)$ で、座標に依らない数だからである。

0でない2つの接ベクトル $v,w$ のなす角 $\varphi$ は

$$\cos\varphi=\frac{g(v,w)}{\sqrt{g(v,v)}\sqrt{g(w,w)}}\tag{5.5}$$

で定める。Riemann 計量なら Cauchy–Schwarz の不等式 $g(v,w)^2\le g(v,v)g(w,w)$ が成り立つ。そのため右辺の絶対値は1以下になる。斜交座標の $\partial_1,\ \partial_2$ を入れると、$\cos\varphi=\cos\alpha$ が出る。

体積要素

座標の小さな箱の「本当の体積」を計量で表す。まず、$n$ 本の接ベクトルが張る平行体の体積を計量で書く。

証明

接空間に、$g$ についての正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ を Gram–Schmidt の方法でとる。正規直交基底での成分を $u_a=C^b{}_ae_b$ と書く。平行体の体積は、Euclid 空間と同じく $\left\vert \det C\right\vert$ である。

内積を並べた Gram 行列は、成分で書けば $g(u_a,u_b)=\sum_cC^c{}_aC^c{}_b$ である。行列では $C^{\mathsf T}C$ なので、その行列式は $(\det C)^2$ になる。

一方、座標基底で計算すると、Gram 行列は $M^{\mathsf T}gM$ である。その行列式は $(\det M)^2\det g$ である。2つの計算は同じ Gram 行列の行列式なので、次が成り立つ。

$$(\det C)^2=(\det M)^2\det g$$

平方根をとって (5.6) を得る。

補題で $u_a=\Delta x^a\,\partial_a$（和をとらない）とおくと、$M$ は対角行列になる。座標の小さな箱の体積は $\sqrt{\det g}\,\Delta x^1\cdots\Delta x^n$ である。これを積分の形にしたものが体積要素である。

証明

変換則 (5.3) の行列式をとると $\det g'=(\det J)^2\det g$ である。したがって $\sqrt{\left\vert g'\right\vert }=\left\vert \det J\right\vert \sqrt{\left\vert g\right\vert }$ となる。一方、重積分の変数変換の公式は $\mathrm{d}^nx=\left\vert \det J\right\vert \,\mathrm{d}^nx'$ である。2つを合わせると、次のようになる。

$$\sqrt{\left\vert g'\right\vert }\,\mathrm{d}^nx'=\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\left\vert \det J\right\vert \,\mathrm{d}^nx'=\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\mathrm{d}^nx$$

行列式の記号 $g$ と計量 $g$ は同じ字だが、添字の有無と文脈で区別する。極座標では $\sqrt g=r$ で、斜交座標では $\sqrt g=\sin\alpha$ である。3次元の球座標 $(r,\theta,\varphi)$ の計量と体積要素は次のとおりである。

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2,\qquad \sqrt g=r^2\sin\theta$$

確認テスト

オリジナル

1. 5.1-1 2次元で成分が $g_{11}=g_{22}=1,\ g_{12}=g_{21}=2$ の対称な双線形形式は、Riemann 計量か。理由とともに答えよ。
2. 5.1-2 3次元の円柱座標 $(\rho,\phi,z)$ を、$x=\rho\cos\phi,\ y=\rho\sin\phi$ で定める。計量と $\sqrt g$ を求めよ。それを使って、半径 $R$・高さ $h$ の円柱の体積を求めよ。
3. 5.1-3 平面の極座標で表した曲線 $r=\mathrm{e}^{\theta},\ 0\le\theta\le2\pi$ の長さを求めよ。また、この曲線の速度と $\partial_r$ のなす角が、どの点でも同じ値になることを示せ。
4. 5.1-4 変換則 (5.3) から、$\det g$ の符号が座標の取り替えで変わらないことを示せ。Minkowski 計量では $\det g<0$ となる。このことと合わせて、体積要素の根号の中に絶対値が要る理由を述べよ。