物理の計量

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.4　★★★ 運動エネルギーの係数は配位空間の計量で、座標基底は直交とは限らない。時空の Minkowski 計量は非退化だが正定値でない

運動エネルギーが決める計量

質点が $N$ 個あり、それぞれの質量を $m_a$ とする。各質点の位置は、一般化座標 $q^1,\dots,q^n$ の関数 $\bm{x}_a(q)$ と書けるとする。拘束は時間に陽に依存しないとする。速度は $\dot{\bm{x}}_a=\frac{\partial \bm{x}_a}{\partial q^i}\dot q^i$ なので、運動エネルギーは

$$T=\frac12\sum_am_a\left\vert \dot{\bm{x}}_a\right\vert ^2=\frac12\,g_{ij}(q)\,\dot q^i\dot q^j,\qquad g_{ij}=\sum_am_a\,\frac{\partial \bm{x}_a}{\partial q^i}\cdot\frac{\partial \bm{x}_a}{\partial q^j}\tag{5.16}$$

となる。速度の2次形式になることの導出は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第1部第2章にある。

(5.16) の $g_{ij}$ は配位空間の計量である。質量で重みを付けた $3N$ 次元の Euclid 計量 $\sum_am_a\left\vert \mathrm{d}\bm{x}_a\right\vert ^2$ を、位置を与える写像で引き戻したものになっている。引き戻し $f^*$ の一般の定義は第12章で扱う。

証明

対称性は、内積の対称性から従う。接ベクトル $v=v^i\partial_i$ を入れると

$$g(v,v)=\sum_am_a\Bigl|\frac{\partial \bm{x}_a}{\partial q^i}v^i\Bigr|^2\ge0$$

である。

等号が成り立つのは、すべての $a$ について $\frac{\partial \bm{x}_a}{\partial q^i}v^i=0$ のときに限る。これは、ヤコビ行列が $v$ を0に写すことである。階数が $n$ ならヤコビ行列は単射なので、等号は $v=0$ のときだけになる。

運動エネルギーは座標の取り方によらない量である。このことは、$g$ が $(0,2)$ 型テンソルとして変換することと同じ内容である。Lagrangian $L=\tfrac12g_{ij}\dot q^i\dot q^j-V(q)$ の Euler–Lagrange 方程式には、計量の微分が Christoffel 記号（第8章）の形で入る。ポテンシャルが0の自由運動は、この計量の測地線になる（第10章 §10.3）。

二重振り子：座標基底が直交しない配位空間

長さ $l_1$ の棒の先に質量 $m_1$ の質点を付ける。その先に、長さ $l_2$ の棒と質量 $m_2$ の質点をつなぐ。この平面の二重振り子で、鉛直下向きから測った角を $\theta_1,\ \theta_2$ とする。

角の差を $\Delta=\theta_1-\theta_2$ と書く。配位空間はトーラスである（第1章 §1.3）。

質点の位置は

$$\bm{x}_1=l_1(\sin\theta_1,\ -\cos\theta_1),\qquad \bm{x}_2=\bm{x}_1+l_2(\sin\theta_2,\ -\cos\theta_2)$$

である。(5.16) に入れて内積を計算すると、計量は

$$(g_{ij})=\begin{pmatrix}(m_1+m_2)l_1^2 & m_2l_1l_2\cos\Delta\\ m_2l_1l_2\cos\Delta & m_2l_2^2\end{pmatrix}\tag{5.17}$$

となる。

非対角の成分は、$\Delta=\pm\pi/2$ 以外では0でない。$\theta_2$ を固定して $\theta_1$ だけを変えると、上の棒が回るので下の質点も一緒に動く。このときの下の質点の速度と、$\theta_2$ だけを変えたときの下の質点の速度は、一般には垂直にならない。これが非対角の成分の物理的な由来である。

(5.5) から、2つの座標基底 $\partial_{\theta_1},\ \partial_{\theta_2}$ のなす角 $\varphi$ は

$$\cos\varphi=\frac{m_2l_1l_2\cos\Delta}{\sqrt{(m_1+m_2)l_1^2}\sqrt{m_2l_2^2}}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1+m_2}}\,\cos\Delta\tag{5.18}$$

である。

棒の長さは約分されて消える。2つの質量が等しく、$\Delta=0$ なら、$\cos\varphi=1/\sqrt2$ である。このとき、なす角は $45^\circ$ になる。行列式は次のとおり正なので、命題 5.12 のとおり計量は正定値である。

$$\det g=m_2l_1^2l_2^2\bigl(m_1+m_2\sin^2\Delta\bigr)>0$$

Minkowski 計量と不定値の計量

特殊相対論の時空は、座標 $x^\mu=(ct,x,y,z)$ と次の計量で表される（相対論入門 第3章・第4章）。

$$\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1),\qquad \mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2-\mathrm{d} y^2-\mathrm{d} z^2\tag{5.19}$$

$\eta$ は非退化だが正定値でない擬 Riemann 計量である。

$\eta(v,v)$ の符号でベクトルを分類する。正なら時間的、負なら空間的と呼ぶ。0でないのに $\eta(v,v)=0$ となるベクトルを、光的（ヌル）と呼ぶ。光的なベクトルは0でないのに長さが0なので、Cauchy–Schwarz の不等式も角の定義 (5.5) も、そのままでは使えない。

一方、非退化性しか使っていない結果はそのまま成り立つ。定理 5.6 の添字の上げ下げはその1つである。

$$v_\mu=\eta_{\mu\nu}v^\nu=(v^0,-v^1,-v^2,-v^3)$$

体積要素は、根号の中の絶対値をとって使う（定理 5.5）。曲がった時空の計量は、相対論入門 第8章が扱う。

座標を取り替えても、計量の正負の固有値の個数（符号数）は変わらない。

証明

$g'=J^{\mathsf T}gJ$ と書く。2つの行列の正の固有値の個数を、それぞれ $p$ と $p'$ とする。もとの行列の正の固有値に属する固有ベクトルは、$p$ 次元の部分空間 $W_+$ を張る。その上では、0でない $v$ について $v^{\mathsf T}gv>0$ である。

$g'$ の負の固有値に属する固有ベクトルは、$n-p'$ 次元の部分空間を張る。この部分空間を $W'_-$ と書く。その上では、0でない $u$ について $u^{\mathsf T}g'u<0$ である。

像 $JW'_-$ も $n-p'$ 次元の部分空間である。$v=Ju$ と書くと、$v^{\mathsf T}gv=u^{\mathsf T}g'u<0$ となる。

$p>p'$ と仮定すると、2つの部分空間の次元の和は $n$ を超える。そのため $W_+$ と $JW'_-$ は、0でない共通のベクトルを持つ。そのベクトルでは2次形式の値が正かつ負となり、矛盾する。

したがって $p\le p'$ である。逆行列について同じ議論をすると、$p'\le p$ も成り立つ。

変換則 (5.3) は $g'=J^{\mathsf T}gJ$ の形なので、符号数は座標によらない。時空の符号数 $(+,-,-,-)$ は、座標の選び方で正定値に変えることはできない。

確認テスト

オリジナル

1. 5.4-1 4次元の Minkowski 計量 (5.19) が Riemann 計量でないことを、具体的なベクトルを1つ挙げて示せ。
2. 5.4-2 円柱座標 $(\rho,\phi,z)$ を使う。質量 $m$ の質点が、円錐面 $z=k\rho\ (k>0)$ の上に拘束されている。座標 $(\rho,\phi)$ で運動エネルギーの計量を求め、$\sqrt g$ を書け。
3. 5.4-3 $m_1=3m_2$ の二重振り子で、2つの座標基底のなす角の最小値を求めよ。また、$m_2\ll m_1$ の極限で、どの $\Delta$ でも座標基底がほぼ直交する理由を述べよ。
4. 5.4-4 2次元の Minkowski 計量 $\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2$ で、光円錐座標 $u=ct-x,\ w=ct+x$ を使う。計量が $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} u\,\mathrm{d} w$ となることを示せ。座標基底 $\partial_u,\ \partial_w$ がどちらも光的であることと、$\eta(\partial_u,\partial_w)=1/2$ を確かめよ。