自由運動は計量の測地線

2026年10月22日10分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第10章測地線

運動エネルギーの計量
ポテンシャルがあるとき
球面上の自由粒子
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

物理のための微分幾何入門　第10章 §10.3　★★★ 束縛された質点の自由運動は運動エネルギーの計量の測地線で、力はそこからのずれを生む

運動エネルギーの計量

第5章 §5.4 で見たように、一般化座標 $q^i$ で書いた運動エネルギーは速度の2次式になる。

$T=\frac12g_{ij}(q)\,\dot q^i\dot q^j\tag{10.14}$

係数 $g_{ij}$ は対称で正定値なので、配位空間の計量とみなせる。質量はこの計量に含めておく。

ポテンシャルの無い系の Lagrangian は $L=T$ である。これは定理 10.5 の被積分関数 $\mathcal E$ と同じ形をしている。

定理 10.10（自由運動と測地線）

Lagrangian が $L=T=\frac12g_{ij}\dot q^i\dot q^j$ の系を考える。この系の運動は、計量 $g$ の測地線を、時刻をアフィン径数として走るものに限られる。運動エネルギー $T$ の保存は、命題 10.3 の速さの保存にあたる。

証明

作用 $\int L\,\mathrm{d} t$ は、(10.5) のエネルギー汎関数 $E[q]$ そのものである。定理 10.5 により、その Euler–Lagrange 方程式は測地線の方程式 $\ddot q^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot q^i\dot q^j=0$ と同値である。命題 10.3 により $g(\dot q,\dot q)=2T$ は一定である。

この定理を逆向きに使うと、Christoffel 記号の計算が楽になる。公式 (10.1) の和を全部書くより、 $L=T$ の Euler–Lagrange 方程式を書いて加速度について解く方が速い。解いた式の $\dot q^i\dot q^j$ の係数が、Christoffel 記号の符号を変えたものになる。係数を読むときは、 $i\ne j$ の項に $\Gamma^k{}_{ij}+\Gamma^k{}_{ji}$ の2つが寄与することに注意する（例題 10.1 の係数2）。

ポテンシャルがあるとき

Lagrangian が $L=T-V(q)$ のとき、Euler–Lagrange 方程式の左辺は定理 10.5 と同じで、右辺に $-\partial_kV$ が加わる。 $g^{lk}$ で添字を上げると次の形になる。

$\ddot q^k+\Gamma^k{}_{ij}\,\dot q^i\dot q^j=-g^{kl}\partial_lV\tag{10.15}$

右辺は、第5章 §5.2 で計量を使って1形式 $\mathrm{d} V$ をベクトルに直した $-\operatorname{grad}V$ である。左辺は (10.2) の $D\dot q^k/\mathrm{d} t$ にあたる。

(10.15) は「共変な加速度＝力（を質量を含む計量で割ったもの）」という Newton の法則の形をしている。力がなければ質点は測地線に沿って進み、力はそこからのずれを生む原因になる。左辺の Christoffel 記号の項は、曲線座標で現れる遠心力や Coriolis 力の形の項を含む。計量 $g$ を書けば、これらの項は自動的に出てくる。

球面上の自由粒子

重力の無い所で、半径 $a$ の滑らかな球面に束縛された質量 $m$ の質点を考える。運動エネルギーは次のとおりである。

$T=\frac12ma^2\left(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2\right)$

これは球面の計量の $ma^2$ 倍である。定数倍は Christoffel 記号を変えないので、質点は大円の上を一定の速さ $v$ で回る。1周にかかる時間は $2\pi a/v$ である。

大円の空間曲線としての曲率は $1/a$ で、主法線は球の中心を向く。第6章 §6.4 の加速度の分解によると、加速度は法線成分 $v^2/a$ だけを持つ。したがって球面は質点を大きさ $mv^2/a$ の力で中心へ押している。この抗力は曲面に垂直なので、曲面の中から見た加速度 $D\dot q/\mathrm{d} t$ には寄与しない。

自由な剛体

外力の無い剛体の向きは回転群 SO(3) の点で表される。剛体の運動エネルギーは角速度の2次式なので、慣性テンソルで決まる計量が SO(3) の上に入る。

定理 10.10 により、自由な剛体の運動はこの計量の測地線である。Euler の方程式がこの測地線の方程式の書き換えになっていることは V. I. Arnold が示した。ここでは主張だけを書く。

例題 10.3　二重振り子の計量と Christoffel 記号 ★★★

オリジナル長さ $l$ の軽い棒2本と質量 $m$ のおもり2つでできた二重振り子を、重力の無い場所で考える。棒が鉛直下向きとなす角を $\theta_1,\theta_2$ とすると、運動エネルギーは次のとおりである。

$T=\frac12ml^2\left[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\cos(\theta_1-\theta_2)\,\dot\theta_1\dot\theta_2\right]$

配位空間（トーラス）の計量 $g_{ij}$ を書き、正定値であることを確かめよ。
$L=T$ の Euler–Lagrange 方程式から、0でない Christoffel 記号をすべて求めよ。
座標基底 $\partial_{\theta_1}$ と $\partial_{\theta_2}$ は直交しているか。

解答

$\Delta=\theta_1-\theta_2$ とおく。 $T=\frac12g_{ij}\dot\theta^i\dot\theta^j$ と見比べると、計量は次のとおりである。

$g=ml^2\begin{pmatrix}2&\cos\Delta\\ \cos\Delta&1\end{pmatrix}$

対角成分は正で、行列式は $(ml^2)^2(2-\cos^2\Delta)=(ml^2)^2(1+\sin^2\Delta)>0$ なので正定値である。2. 共通の因子 $ml^2$ は Christoffel 記号に影響しないので、外して計算する。 $s=\sin\Delta$ 、 $c=\cos\Delta$ と書く。 $\theta_1$ についての Euler–Lagrange 方程式は次のようになる。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(2\dot\theta_1+c\,\dot\theta_2\right)+s\,\dot\theta_1\dot\theta_2 =2\ddot\theta_1+c\,\ddot\theta_2-s(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\dot\theta_2+s\,\dot\theta_1\dot\theta_2=0$

整理すると $2\ddot\theta_1+c\,\ddot\theta_2+s\,\dot\theta_2^2=0$ である。 $\theta_2$ についても同様に計算する。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\dot\theta_2+c\,\dot\theta_1\right)-s\,\dot\theta_1\dot\theta_2 =\ddot\theta_2+c\,\ddot\theta_1-s(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\dot\theta_1-s\,\dot\theta_1\dot\theta_2=0$

整理すると $c\,\ddot\theta_1+\ddot\theta_2-s\,\dot\theta_1^2=0$ である。2本をまとめると、行列の形の式になる。

$\begin{pmatrix}2&c\\ c&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ddot\theta_1\\ \ddot\theta_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-s\,\dot\theta_2^2\\ s\,\dot\theta_1^2\end{pmatrix}$

逆行列 $\frac{1}{2-c^2}\begin{pmatrix}1&-c\\ -c&2\end{pmatrix}$ を掛けて $\ddot\theta$ について解く。

$\ddot\theta_1=-\frac{cs\,\dot\theta_1^2+s\,\dot\theta_2^2}{2-c^2},\qquad \ddot\theta_2=\frac{2s\,\dot\theta_1^2+cs\,\dot\theta_2^2}{2-c^2}$

$\ddot\theta^k=-\Gamma^k{}_{ij}\dot\theta^i\dot\theta^j$ と見比べると、0でない成分は次の4つである。

$\Gamma^1{}_{11}=\frac{cs}{2-c^2},\quad \Gamma^1{}_{22}=\frac{s}{2-c^2},\quad \Gamma^2{}_{11}=-\frac{2s}{2-c^2},\quad \Gamma^2{}_{22}=-\frac{cs}{2-c^2}$

$\dot\theta_1\dot\theta_2$ の項が無いので、 $\Gamma^k{}_{12}=\Gamma^k{}_{21}=0$ である。3. 内積は $g(\partial_{\theta_1},\partial_{\theta_2})=ml^2\cos\Delta$ で、 $\Delta=\pm\pi/2$ のとき以外は0でない。座標基底は一般には直交しない。

二重振り子の配位空間は第1章で見たトーラスだが、この計量は第7章の「空間に置いたドーナツ」の第一基本形式とは別物である。どの計量を使うかは運動エネルギーが決める。

確認テスト

オリジナル

10.3-1 円柱座標の質点の Lagrangian は $L=\frac m2(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2+\dot z^2)$ である。Euler–Lagrange 方程式から、0でない Christoffel 記号を読み取れ。
10.3-2 重力の無い所で、半径 $R=0.10\ \mathrm m$ の滑らかな円柱面に質点が束縛されている。この質点を、軸と $30^\circ$ の角をなす向きに速さ $1.0\ \mathrm{m/s}$ で打ち出す。
1. (a) 軌道が螺旋になることを示し、ピッチ（1周で軸方向に進む距離）を求めよ。
2. (b) この螺旋の空間曲線としての曲率を求めよ。
10.3-3 長さ $l$ の球面振り子の位置を、鉛直下向きからの角と方位角の組 $(\theta,\varphi)$ で表す。単位質量あたりの位置エネルギーは $V=-gl\cos\theta$ である。
1. (a) (10.15) の形で運動方程式を書け。
2. (b) $\theta=\theta_0$ を保つ円錐振り子の角速度を求めよ。 $l=1.0\ \mathrm m,\ \theta_0=30^\circ$ での周期を数値で求めよ。重力加速度は $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。
10.3-4 (10.15) に従う運動について、 $\frac12g_{ij}\dot q^i\dot q^j+V$ が一定であることを、命題 10.3 の証明にならって示せ。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

← AI生成教科書『基礎理論』の記事一覧へ