物理のための微分幾何入門 第10章 §10.4 ★★ エネルギーを決めると、ポテンシャルのある運動の軌道も別の計量の測地線になる
共形な計量の Christoffel 記号
ポテンシャルがあると、(10.15) の解は計量 g g g E E E g g g
証明 逆行列は g ~ k l = e − 2 σ g k l \tilde g^{kl}=\mathrm{e}^{-2\sigma}g^{kl} g ~ k l = e − 2 σ g k l g ~ \tilde g g ~
∂ i g ~ l j = e 2 σ ( ∂ i g l j + 2 ∂ i σ g l j ) \partial_i\tilde g_{lj}=\mathrm{e}^{2\sigma}\left(\partial_ig_{lj}+2\,\partial_i\sigma\,g_{lj}\right) ∂ i g ~ l j = e 2 σ ( ∂ i g l j + 2 ∂ i σ g l j )
これを (10.1) に入れると、e ± 2 σ \mathrm{e}^{\pm2\sigma} e ± 2 σ ∂ σ \partial\sigma ∂ σ Γ k i j \Gamma^k{}_{ij} Γ k ij ∂ σ \partial\sigma ∂ σ
1 2 g k l ⋅ 2 ( ∂ i σ g l j + ∂ j σ g l i − ∂ l σ g i j ) = δ k j ∂ i σ + δ k i ∂ j σ − g i j g k l ∂ l σ \frac12g^{kl}\cdot2\left(\partial_i\sigma\,g_{lj}+\partial_j\sigma\,g_{li}-\partial_l\sigma\,g_{ij}\right)
=\delta^k{}_j\,\partial_i\sigma+\delta^k{}_i\,\partial_j\sigma-g_{ij}\,g^{kl}\partial_l\sigma 2 1 g k l ⋅ 2 ( ∂ i σ g l j + ∂ j σ g l i − ∂ l σ g ij ) = δ k j ∂ i σ + δ k i ∂ j σ − g ij g k l ∂ l σ
二つを足せば (10.16) である。
Jacobi の定理
定理 10.12（Jacobi 計量）
Lagrangian L = 1 2 g i j q ˙ i q ˙ j − V ( q ) L=\frac12g_{ij}\dot q^i\dot q^j-V(q) L = 2 1 g ij q ˙ i q ˙ j − V ( q ) E E E V < E V<E V < E Jacobi 計量 と呼ぶ。
g ~ i j = 2 ( E − V ( q ) ) g i j (10.17) \tilde g_{ij}=2\bigl(E-V(q)\bigr)\,g_{ij}\tag{10.17} g ~ ij = 2 ( E − V ( q ) ) g ij ( 10.17 )
このとき運動の軌道は g ~ \tilde g g ~ s s s g ~ \tilde g g ~
d s = 2 ( E − V ) d t (10.18) \mathrm{d} s=2\bigl(E-V\bigr)\,\mathrm{d} t\tag{10.18} d s = 2 ( E − V ) d t ( 10.18 )
証明 W = E − V > 0 W=E-V>0 W = E − V > 0 g ( q ˙ , q ˙ ) = 2 W g(\dot q,\dot q)=2W g ( q ˙ , q ˙ ) = 2 W 10.11 を e 2 σ = 2 W \mathrm{e}^{2\sigma}=2W e 2 σ = 2 W ∂ i σ = ∂ i W / ( 2 W ) \partial_i\sigma=\partial_iW/(2W) ∂ i σ = ∂ i W / ( 2 W )
まず s s s q ′ = d q / d s = q ˙ / ( 2 W ) q'=\mathrm{d} q/\mathrm{d} s=\dot q/(2W) q ′ = d q / d s = q ˙ / ( 2 W )
g ~ ( q ′ , q ′ ) = 2 W ⋅ g ( q ˙ , q ˙ ) 4 W 2 = 2 W ⋅ 2 W 4 W 2 = 1 \tilde g(q',q')=2W\cdot\frac{g(\dot q,\dot q)}{4W^2}=2W\cdot\frac{2W}{4W^2}=1 g ~ ( q ′ , q ′ ) = 2 W ⋅ 4 W 2 g ( q ˙ , q ˙ ) = 2 W ⋅ 4 W 2 2 W = 1
次に q ′ ′ q'' q ′′ d / d s = ( 2 W ) − 1 d / d t \mathrm{d}/\mathrm{d} s=(2W)^{-1}\mathrm{d}/\mathrm{d} t d / d s = ( 2 W ) − 1 d / d t W ˙ = ∂ j W q ˙ j \dot W=\partial_jW\,\dot q^j W ˙ = ∂ j W q ˙ j
q ′ ′ k = 1 2 W d d t ( q ˙ k 2 W ) = 1 4 W 2 ( q ¨ k − W ˙ W q ˙ k ) q''^k=\frac{1}{2W}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\dot q^k}{2W}\right)=\frac{1}{4W^2}\left(\ddot q^k-\frac{\dot W}{W}\,\dot q^k\right) q ′′ k = 2 W 1 d t d ( 2 W q ˙ k ) = 4 W 2 1 ( q ¨ k − W W ˙ q ˙ k )
(10.16) の追加項を q ′ i q ′ j q'^iq'^j q ′ i q ′ j δ \delta δ g ( q ˙ , q ˙ ) = 2 W g(\dot q,\dot q)=2W g ( q ˙ , q ˙ ) = 2 W
( 2 δ k i ∂ j σ − g i j g k l ∂ l σ ) q ′ i q ′ j = 1 4 W 2 ( W ˙ W q ˙ k − g k l ∂ l W ) \left(2\delta^k{}_i\partial_j\sigma-g_{ij}g^{kl}\partial_l\sigma\right)q'^iq'^j
=\frac{1}{4W^2}\left(\frac{\dot W}{W}\,\dot q^k-g^{kl}\partial_lW\right) ( 2 δ k i ∂ j σ − g ij g k l ∂ l σ ) q ′ i q ′ j = 4 W 2 1 ( W W ˙ q ˙ k − g k l ∂ l W )
これらと Γ k i j q ′ i q ′ j = Γ k i j q ˙ i q ˙ j / ( 4 W 2 ) \Gamma^k{}_{ij}q'^iq'^j=\Gamma^k{}_{ij}\dot q^i\dot q^j/(4W^2) Γ k ij q ′ i q ′ j = Γ k ij q ˙ i q ˙ j / ( 4 W 2 ) (10.15) は − g k l ∂ l V = g k l ∂ l W -g^{kl}\partial_lV=g^{kl}\partial_lW − g k l ∂ l V = g k l ∂ l W
q ′ ′ k + Γ ~ k i j q ′ i q ′ j = 1 4 W 2 ( q ¨ k + Γ k i j q ˙ i q ˙ j − g k l ∂ l W ) = 0 q''^k+\tilde\Gamma^k{}_{ij}q'^iq'^j=\frac{1}{4W^2}\left(\ddot q^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot q^i\dot q^j-g^{kl}\partial_lW\right)=0 q ′′ k + Γ ~ k ij q ′ i q ′ j = 4 W 2 1 ( q ¨ k + Γ k ij q ˙ i q ˙ j − g k l ∂ l W ) = 0
よって q ( s ) q(s) q ( s ) g ~ \tilde g g ~
Maupertuis の原理
Jacobi の定理を変分の言葉で言い直す。正準運動量は p i = ∂ L / ∂ q ˙ i = g i j q ˙ j p_i=\partial L/\partial\dot q^i=g_{ij}\dot q^j p i = ∂ L / ∂ q ˙ i = g ij q ˙ j p i q ˙ i = 2 T = 2 W p_i\dot q^i=2T=2W p i q ˙ i = 2 T = 2 W
g ~ i j q ˙ i q ˙ j d t = 2 W ⋅ 2 W d t = 2 W d t = p i q ˙ i d t \sqrt{\tilde g_{ij}\dot q^i\dot q^j}\,\mathrm{d} t=\sqrt{2W\cdot2W}\,\mathrm{d} t=2W\,\mathrm{d} t=p_i\dot q^i\,\mathrm{d} t g ~ ij q ˙ i q ˙ j d t = 2 W ⋅ 2 W d t = 2 W d t = p i q ˙ i d t
したがって、簡約作用と呼ばれる S 0 = ∫ p i d q i S_0=\int p_i\,\mathrm{d} q^i S 0 = ∫ p i d q i
Maupertuis の原理
エネルギー E E E 1 2 g ( q ˙ , q ˙ ) = E − V \frac12g(\dot q,\dot q)=E-V 2 1 g ( q ˙ , q ˙ ) = E − V S 0 = ∫ p i d q i S_0=\int p_i\,\mathrm{d} q^i S 0 = ∫ p i d q i S 0 S_0 S 0 10.6 と定理 10.12 の言い換えである。
Hamilton の原理は時刻を止めて道を比べ、Maupertuis の原理はエネルギーを止めて道を比べる。後者は径数を捨てて軌道の形だけを問うので、測地線（径数によらない長さの停留）の問題になる。簡約作用 ∫ p i d q i \int p_i\,\mathrm{d} q^i ∫ p i d q i
折り返し点では計量がつぶれる
運動できる領域は V ≤ E V\le E V ≤ E V = E V=E V = E g ~ = 0 \tilde g=0 g ~ = 0
真上に投げた球のように速さが0になって引き返す運動は、境界に触れて戻る。この点は Jacobi 計量の測地線としては扱えない。
定理 10.12 は V < E V<E V < E
例題 10.4 Kepler 運動を Jacobi 計量の測地線として解く ★★
オリジナル 平面上で、引力ポテンシャル V = − k / r V=-k/r V = − k / r m m m k k k E E E L L L
Jacobi 計量を極座標で書け。
回転の対称性から、Clairaut の関係と同じ形の保存量 J \mathcal J J L L L
u = 1 / r u=1/r u = 1/ r u = m k L 2 ( 1 + e cos ( φ − φ 0 ) ) u=\frac{mk}{L^2}\bigl(1+e\cos(\varphi-\varphi_0)\bigr) u = L 2 mk ( 1 + e cos ( φ − φ 0 ) ) e e e E , L E,L E , L
解答
運動エネルギーは T = m 2 ( r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 ) T=\frac m2(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2) T = 2 m ( r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 ) g = m ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) g=m(\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2) g = m ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) (10.17) から Jacobi 計量は次のようになる。
d s ~ 2 = F ( r ) ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) , F ( r ) = 2 m ( E + k r ) \mathrm{d}\tilde s^2=F(r)\left(\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2\right),\qquad F(r)=2m\left(E+\frac kr\right) d s ~ 2 = F ( r ) ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) , F ( r ) = 2 m ( E + r k ) F F F φ \varphi φ 1 2 ∫ F ( r ′ 2 + r 2 φ ′ 2 ) d s \frac12\int F(r'^2+r^2\varphi'^2)\,\mathrm{d} s 2 1 ∫ F ( r ′2 + r 2 φ ′2 ) d s φ \varphi φ
J = F r 2 φ ′ \mathcal J=F\,r^2\varphi' J = F r 2 φ ′
これは (10.11) と同じ形である。実際の運動に戻すには、(10.18) の d s = 2 W d t \mathrm{d} s=2W\mathrm{d} t d s = 2 W d t φ ′ = φ ˙ / ( 2 W ) \varphi'=\dot\varphi/(2W) φ ′ = φ ˙ / ( 2 W ) F = 2 m W F=2mW F = 2 mW
J = 2 m W r 2 φ ˙ 2 W = m r 2 φ ˙ = L \mathcal J=2mW\,r^2\,\frac{\dot\varphi}{2W}=mr^2\dot\varphi=L J = 2 mW r 2 2 W φ ˙ = m r 2 φ ˙ = L F ( r ′ 2 + r 2 φ ′ 2 ) = 1 F(r'^2+r^2\varphi'^2)=1 F ( r ′2 + r 2 φ ′2 ) = 1 r ′ = d r d φ φ ′ r'=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}\varphi}\varphi' r ′ = d φ d r φ ′ φ ′ = L / ( F r 2 ) \varphi'=L/(Fr^2) φ ′ = L / ( F r 2 )
( d r d φ ) 2 = r 2 ( F r 2 L 2 − 1 ) \left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2=r^2\left(\frac{Fr^2}{L^2}-1\right) ( d φ d r ) 2 = r 2 ( L 2 F r 2 − 1 )
u = 1 / r u=1/r u = 1/ r d r / d φ = − r 2 d u / d φ \mathrm{d} r/\mathrm{d}\varphi=-r^2\,\mathrm{d} u/\mathrm{d}\varphi d r / d φ = − r 2 d u / d φ F F F
( d u d φ ) 2 = F L 2 − u 2 = 2 m E L 2 + 2 m k L 2 u − u 2 \left(\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2=\frac{F}{L^2}-u^2=\frac{2mE}{L^2}+\frac{2mk}{L^2}\,u-u^2 ( d φ d u ) 2 = L 2 F − u 2 = L 2 2 m E + L 2 2 mk u − u 2
両辺を φ \varphi φ 2 d u / d φ 2\,\mathrm{d} u/\mathrm{d}\varphi 2 d u / d φ
d 2 u d φ 2 + u = m k L 2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}+u=\frac{mk}{L^2} d φ 2 d 2 u + u = L 2 mk
一般解は u = m k L 2 ( 1 + e cos ( φ − φ 0 ) ) u=\frac{mk}{L^2}\bigl(1+e\cos(\varphi-\varphi_0)\bigr) u = L 2 mk ( 1 + e cos ( φ − φ 0 ) ) e e e
e 2 = 1 + 2 E L 2 m k 2 e^2=1+\frac{2EL^2}{mk^2} e 2 = 1 + m k 2 2 E L 2
離心率の式から、エネルギーの符号で軌道の種類が分かれる。E < 0 E<0 E < 0 e < 1 e<1 e < 1 E = 0 E=0 E = 0 E > 0 E>0 E > 0
E = 0 E=0 E = 0
E = 0 E=0 E = 0 F = 2 m k / r F=2mk/r F = 2 mk / r ρ = 2 r , χ = φ / 2 \rho=2\sqrt r,\ \chi=\varphi/2 ρ = 2 r , χ = φ /2 d r = ρ d ρ / 2 \mathrm{d} r=\rho\,\mathrm{d}\rho/2 d r = ρ d ρ /2 r = ρ 2 / 4 r=\rho^2/4 r = ρ 2 /4
2 m k r ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) = 2 m k ( d ρ 2 + ρ 2 d χ 2 ) \frac{2mk}{r}\left(\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2\right)=2mk\left(\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\chi^2\right) r 2 mk ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) = 2 mk ( d ρ 2 + ρ 2 d χ 2 )
これは平面の極座標の計量の定数倍で、Jacobi 計量は平らである。測地線は ( ρ , χ ) (\rho,\chi) ( ρ , χ ) ρ cos χ = ρ 0 \rho\cos\chi=\rho_0 ρ cos χ = ρ 0
もとの座標に戻すと、4 r cos 2 ( φ / 2 ) = ρ 0 2 4r\cos^2(\varphi/2)=\rho_0^2 4 r cos 2 ( φ /2 ) = ρ 0 2 2 cos 2 ( φ / 2 ) = 1 + cos φ 2\cos^2(\varphi/2)=1+\cos\varphi 2 cos 2 ( φ /2 ) = 1 + cos φ
r = ρ 0 2 / 2 1 + cos φ r=\frac{\rho_0^2/2}{1+\cos\varphi} r = 1 + cos φ ρ 0 2 /2
例題 10.4 の e = 1 e=1 e = 1 z = w 2 / 4 z=w^2/4 z = w 2 /4 10.4 ）。
図 10.4 E = 0 E=0 E = 0 ρ = 2 r \rho=2\sqrt r ρ = 2 r χ = φ / 2 \chi=\varphi/2 χ = φ /2 z = w 2 / 4 z=w^2/4 z = w 2 /4
Jacobi 計量の曲率と軌道の安定性
2次元の Jacobi 計量の Gauss 曲率は、確認テスト 10.4-3 のように計算できる。Kepler 運動では、曲率の符号は − E -E − E
第11章 §11.4 の測地線偏差の式により、曲率が正なら近くの測地線は寄り合い、負なら離れていく。
負の曲率を持つ Jacobi 計量の測地線が初期値に敏感になることは、Hadamard や Anosov の研究で知られている。ここでは主張だけを書く。
確認テスト
オリジナル
10.4-1 一様な重力 V = m g y V=mgy V = m g y m m m E E E 10.4-2 10.4-1 の Jacobi 計量について、x x x J \mathcal J J y ( x ) y(x) y ( x ) d 2 y / d x 2 = − m 2 g / J 2 \mathrm{d}^2y/\mathrm{d} x^2=-m^2g/\mathcal J^2 d 2 y / d x 2 = − m 2 g / J 2 J = m x ˙ \mathcal J=m\dot x J = m x ˙ 10.4-3 2次元の計量 e 2 σ ( d x 2 + d y 2 ) \mathrm{e}^{2\sigma}(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2) e 2 σ ( d x 2 + d y 2 ) K = − e − 2 σ Δ σ K=-\mathrm{e}^{-2\sigma}\Delta\sigma K = − e − 2 σ Δ σ Δ \Delta Δ 10.4 の Jacobi 計量の Gauss 曲率を求め、符号を E E E 10.4-4 実際の運動の上で、正準運動量 p i = g i j q ˙ j p_i=g_{ij}\dot q^j p i = g ij q ˙ j p i q ˙ i = 2 ( E − V ) p_i\dot q^i=2(E-V) p i q ˙ i = 2 ( E − V ) p i q ˙ i d t p_i\dot q^i\,\mathrm{d} t p i q ˙ i d t d s \mathrm{d} s d s
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
