光線と Fermat の原理

物理のための微分幾何入門　第10章 §10.5　★★ 光線は屈折率でつくる計量の測地線で、Snell の法則は Clairaut の関係の仲間である

光学的な計量

屈折率 $n(\bm x)$ の媒質では、光の速さは $c/n$ である。光が経路 $C$ を進むのにかかる時間は、次の光路長を $c$ で割ったものになる。

$$\mathcal L[C]=\int_Cn(\bm x)\,\mathrm{d} l,\qquad \mathrm{d} l^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\tag{10.19}$$

Fermat の原理は、光線が2点を結ぶ経路の中で光路長を停留させるものだ、という主張である。

(10.19) は、次の計量での曲線の長さそのものである。

$$\tilde g_{ij}=n(\bm x)^2\,\delta_{ij}\tag{10.20}$$

定理 10.6 により、Fermat の原理は「光線は計量 $n^2\delta_{ij}$ の測地線である」と言い換えられる。この計量を光学的な計量と呼ぶ。

証明

補題 10.11 を $g=\delta$、$\sigma=\ln n$ として使う。$\Gamma=0$ なので、追加項だけが残る。

$$\tilde\Gamma^k{}_{ij}=\delta^k{}_i\,\partial_j\ln n+\delta^k{}_j\,\partial_i\ln n-\delta_{ij}\,\partial_k\ln n$$

アフィン径数には、光学的な計量の弧長、つまり光路長 $\tau$（$\mathrm{d}\tau=n\,\mathrm{d} l$）をとる。$\mathrm{d}\bm x/\mathrm{d}\tau=\bm t/n$ で、測地線の方程式は次のようになる。

$$\frac1n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} l}\left(\frac{\bm t}{n}\right)+\frac{2}{n^2}\,\bm t\,(\bm t\cdot\nabla\ln n)-\frac{1}{n^2}\nabla\ln n=\bm 0$$

両辺に $n^2$ を掛け、$n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} l}(\bm t/n)=\frac{\mathrm{d}\bm t}{\mathrm{d} l}-\bm t\,(\bm t\cdot\nabla\ln n)$ を使って整理する。

$$\frac{\mathrm{d}\bm t}{\mathrm{d} l}+\bm t\,(\bm t\cdot\nabla\ln n)=\nabla\ln n$$

両辺に $n$ を掛けると、左辺は $n\frac{\mathrm{d}\bm t}{\mathrm{d} l}+\bm t\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} l}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} l}(n\bm t)$ になる。右辺は $\nabla n$ になり、(10.21) を得る。

光学と力学の対応

光学的な計量 (10.20) と Jacobi 計量 (10.17) は、どちらも平らな計量に関数を掛けた形をしている。質量 $m$ の質点では、Jacobi 計量は $2m(E-V)\delta$ である。両者を見比べると、屈折率 $n$ に運動量の大きさ $\left\vert \bm p\right\vert =\sqrt{2m(E-V)}$ が対応する。

この対応は、Hamilton が幾何光学と力学を同じ形で書いたときの出発点である。光線の Hamilton 形式とアイコナール方程式は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第10章で扱う。

成層した媒質と Snell の法則

屈折率が高さ $y$ だけに依存する媒質 $n=n(y)$ を考える。光線の方程式 (10.21) の $x$ 成分は、$\partial_xn=0$ なので保存則になる。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} l}\left(n\,\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} l}\right)=0$$

光線が水平となす角を $\theta$ とすると、$\mathrm{d} x/\mathrm{d} l=\cos\theta$ である。よって次の量が光線に沿って一定になる。

$$n(y)\cos\theta=C\tag{10.22}$$

屈折率が境界面で跳ぶ場合も、境界をなめらかな変化の極限とみれば (10.22) がそのまま成り立つ。法線からの入射角 $i=\frac\pi2-\theta$ で書けば、Snell の法則 $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$ である。(10.22) は、$x$ 方向の平行移動の対称性から出た保存量で、回転面の Clairaut の関係 (10.11) と同じ仕組みで出てくる。球対称な媒質では、回転の対称性から同じ形の保存量が出る（確認テスト 10.5-4）。

重力レンズへ

弱い重力場の時空を光が進むとき、空間の各点での光の速さは座標で見て $c$ より遅くなる。相対論入門 第9章 §9.2 の弱い場の計量から、光にとっての実効的な屈折率は次の形になる。

$$n(\bm x)=1-\frac{2\Phi(\bm x)}{c^2}=1+\frac{2GM}{c^2r}\tag{10.23}$$

ここで $\Phi=-GM/r$ は Newton のポテンシャルで、係数の2は時間の部分と空間の部分の計量が同じだけ寄与することから出る。

確認テスト

オリジナル

1. 10.5-1 屈折率が一様な $n$ の媒質で、光学的な計量の測地線を求めよ。長さ $l$ の光線の光路長と、光がそこを通るのにかかる時間も書け。$n=1.5$、$l=2.0\ \mathrm m$ での値を求めよ。
2. 10.5-2 空気（屈折率1.00）から水（屈折率1.33）へ、入射角 $45^\circ$ で光が入る。屈折角を (10.22) から求めよ。
3. 10.5-3 実効屈折率 (10.23) の中を、$z$ 軸に平行に衝突径数 $b$ で進む光を考える。光線をほぼ直線 $x=b$ とみなし、光線の方程式から横向きの曲がりの角を求めよ。太陽（$GM=1.327\times10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2}$、半径 $6.96\times10^8\ \mathrm m$）の縁をかすめる光について、角度を秒角で求めよ。
4. 10.5-4 屈折率が原点からの距離だけで決まる媒質 $n=n(r)$ を考える。光線と動径方向のなす角を $\phi$ とすると、$n\,r\sin\phi$ が光線に沿って一定であることを、光線の方程式 (10.21) から示せ（Bouguer の公式）。