回転面と Clairaut の関係

物理のための微分幾何入門　第10章 §10.2　★★★ 回転の対称性から保存量が1つ出て、測地線の方程式が1変数の問題に落ちる

回転面の測地線の方程式

$z$ 軸のまわりに平面曲線を回してできる曲面を回転面と呼ぶ。母線（回す前の曲線）を弧長 $u$ で $(f(u),h(u))$ と表すと、回転面は次のように書ける。

$$\bm X(u,\varphi)=\bigl(f(u)\cos\varphi,\ f(u)\sin\varphi,\ h(u)\bigr),\qquad f'^2+h'^2=1\tag{10.8}$$

ここで $f(u)>0$ は軸からの距離である。第一基本形式（第7章 §7.1）を計算すると、線素は次のようになる。

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} u^2+f(u)^2\,\mathrm{d}\varphi^2\tag{10.9}$$

$u$ 一定の曲線を緯線（平行円）、$\varphi$ 一定の曲線を経線と呼ぶ。

計量の成分は $g_{uu}=1$、$g_{\varphi\varphi}=f^2$ である。例題 10.1 と同じ計算で、0でない Christoffel 記号は次の2つになる。

$$\Gamma^u{}_{\varphi\varphi}=-ff',\qquad \Gamma^\varphi{}_{u\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi u}=\frac{f'}{f}$$

したがって、弧長 $s$ を径数とする測地線の方程式は次の2本である。

$$\ddot u-ff'\,\dot\varphi^2=0,\qquad \ddot\varphi+\frac{2f'}{f}\,\dot u\dot\varphi=0\tag{10.10}$$

Clairaut の関係

(10.10) の2本めの式に $f^2$ を掛けると、左辺は $f^2\dot\varphi$ の微分にまとまる。これが次の定理の中身である。

証明

(10.10) の2本めに $f^2$ を掛ける。$f$ が $u(s)$ を通して弧長に依存することに注意すると、次のようにまとまる。

$$f^2\ddot\varphi+2ff'\dot u\dot\varphi=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\left(f^2\dot\varphi\right)=0$$

よって $J=f^2\dot\varphi$ は一定である。次に角 $\psi$ との関係を示す。緯線方向の単位ベクトルは $\bm X_\varphi/f$ で、測地線の単位接ベクトルは $\dot u\bm X_u+\dot\varphi\bm X_\varphi$ である。第一基本形式で内積をとると、$\bm X_u$ と $\bm X_\varphi$ は直交するので次の式を得る。

$$\cos\psi=\left\langle\dot u\bm X_u+\dot\varphi\bm X_\varphi,\ \frac{\bm X_\varphi}{f}\right\rangle=\frac{\dot\varphi\,f^2}{f}=f\dot\varphi$$

両辺に $f$ を掛ければ $f\cos\psi=f^2\dot\varphi=J$ である。

この定理から、どの経線とどの緯線が測地線になるかがすぐ分かる。

証明

経線 $\varphi=\varphi_0,\ u=s$ では $\dot\varphi=\ddot u=0$ なので、(10.10) の2本はどちらも満たされる。緯線 $u=u_0$ を弧長で走ると、$\dot u=0,\ \dot\varphi=1/f(u_0)$ である。2本めの式は満たされ、1本めの式は次の条件になる。

$$-f(u_0)f'(u_0)\cdot\frac{1}{f(u_0)^2}=0\iff f'(u_0)=0$$

保存量としての読みと折り返し

弧長で径数づけているので $\dot u^2+f^2\dot\varphi^2=1$ である。これに $\dot\varphi=J/f^2$ を入れると、$u$ だけの1階の方程式になる。

$$\dot u^2=1-\frac{J^2}{f(u)^2}\tag{10.12}$$

右辺は負になれないので、測地線は $f(u)\ge\left\vert J\right\vert$ の帯の中しか通らない。$f(u)=\left\vert J\right\vert$ になる緯線では $\dot u=0$ になり、測地線はそこで緯線に接して折り返す。

この構造は、中心力の運動で角運動量から有効ポテンシャルをつくる手順と同じである。実際、$J=f^2\dot\varphi$ は回転軸のまわりの角運動量（単位質量あたり）の形をしている。

§10.3 で示すように、滑らかな回転面に束縛された質点の自由運動は測地線なので、Clairaut の関係はその質点の角運動量保存そのものである。回転の対称性から保存量が出るという仕組みは、第13章 §13.3 で Killing ベクトル $K$ と保存量 $g(K,\dot x)$ の形に一般化する。ここでは $K=\partial_\varphi$ で、$g(\partial_\varphi,\dot x)=f^2\dot\varphi=J$ である。

球面の大円

半径 $a$ の球面は $f(u)=a\sin(u/a)$ の回転面である。$\theta=u/a$ を北極からの角とすると、線素は次の形になる。

$$\mathrm{d} s^2=a^2\left(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\right)$$

以下では $a=1$ とする。Clairaut の定数 $c=\sin^2\theta\,\dot\varphi$ を使って、測地線がすべて大円であることを示す。

経線は系 10.9 により測地線で、大円でもある。そこで $c\ne0$ とし、向きを選んで $0<c<1$ としてよい。残る $c=\pm1$ は赤道である。

(10.12) は $\dot\theta^2=1-c^2/\sin^2\theta$ となる。$\dot\varphi$ と $\dot\theta$ の比をとると、軌道の式が得られる。

$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\theta}=\frac{\dot\varphi}{\dot\theta}=\frac{c}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-c^2}}$$

変数を $\zeta=\cot\theta$ に変える。$\mathrm{d}\zeta=-\mathrm{d}\theta/\sin^2\theta$ と $\sin^2\theta-c^2=\sin^2\theta\,(1-c^2-c^2\zeta^2)$ を使うと、次の積分に直る。

$$\mathrm{d}\varphi=-\frac{c\,\mathrm{d}\zeta}{\sqrt{(1-c^2)-c^2\zeta^2}} \qquad\Longrightarrow\qquad \varphi-\varphi_0=\arccos\frac{c\,\zeta}{\sqrt{1-c^2}}$$

よって測地線の軌道は次の式で表される。

$$\cot\theta=A\cos(\varphi-\varphi_0),\qquad A=\frac{\sqrt{1-c^2}}{c}\tag{10.13}$$

両辺に $\sin\theta$ を掛けると $\cos\theta=A\sin\theta\cos(\varphi-\varphi_0)$ となる。デカルト座標では $z=A(x\cos\varphi_0+y\sin\varphi_0)$ で、原点を通る平面の式である。球面と原点を通る平面の交わりは大円なので、球面の測地線は大円に限られる。

この大円の最高緯度も Clairaut の関係から読める。最も北の点では測地線が緯線に接するので $\psi=0$ で、$\sin\theta_{\min}=c$ となる。赤道では $f=1$ なので $\cos\psi_0=c$ である。したがって、大円が赤道となす角 $\psi_0$ と最高緯度 $\frac\pi2-\theta_{\min}$ は等しい（図 10.2）。

確認テスト

オリジナル

1. 10.2-1 円環面（トーラス）を、母線を半径 $a$ の円とする回転面として表す。軸からの距離は $f(u)=R+a\cos(u/a)$ で、$R>a$ とする。緯線のうち測地線になるものをすべて挙げよ。

2. 10.2-2 半径 $a$ の球面の上で、赤道上の点から赤道と $60^\circ$ の角をなして北へ向かう測地線を考える。

   1. (a) この測地線が達する最高緯度を求めよ。
   2. (b) 緯度 $30^\circ$ の緯線を横切るとき、測地線がその緯線となす角を求めよ。

3. 10.2-3 カテノイドは、母線の弧長 $u$ を使って $f(u)=\sqrt{c^2+u^2}$ と表される回転面である。正の定数 $c$ は首の半径である。

   1. (a) 母線の高さを $h(u)$ とする。$h'=c/\sqrt{c^2+u^2}$ ととれば $f'^2+h'^2=1$ となることを確かめよ。
   2. (b) $c=1$ とする。$u=2$ の点から首の側へ、緯線と $60^\circ$ の角をなして出発した測地線は、首を越えるか。越えないなら折り返す位置 $u$ を求めよ。

4. 10.2-4 回転面の測地線が、測地線でない緯線 $u=u_0$ に点 $P$ で接しているとする。このとき点 $P$ で $\ddot u\ne0$ となることを示せ。さらに、測地線が $P$ の前後でその緯線の片側だけにあることを示せ。どちらの側にあるかを $f'(u_0)$ の符号で答えよ。