Killing ベクトルと保存量

2026年10月22日17分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第13章 Lie 微分・流れ・対称性

Killing ベクトルの定義
Euclid 平面と球面の Killing ベクトル
測地線に沿って保存する量
Killing ベクトルは Lie 括弧で閉じる
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

物理のための微分幾何入門　第13章 §13.3　★★★ 計量を保つ流れの生成子が Killing ベクトル。測地線に沿って $g(K,\dot x)$ が保存し、角運動量や Clairaut の関係がここから出る

Killing ベクトルの定義

計量を持つ多様体で、流れが長さと角を変えないとき、その流れを等長変換の族と呼ぶ。式では、すべての時刻で $\Phi_t^*g=g$ となることである。(13.8) により、これは生成子についての1つの条件に書き直せる。

定義 13.12（Killing ベクトル）

$\mathcal L_Kg=0$ を満たすベクトル場 $K$ を Killing ベクトルと呼ぶ。成分では (13.10) から次の Killing 方程式になる。

$K^k\partial_kg_{ij}+g_{kj}\,\partial_iK^k+g_{ik}\,\partial_jK^k=0.\tag{13.13}$

計量のどの成分にも座標 $x^1$ が現れない場合を考える。 $K=\partial_1$ とおくと、成分が定数なので (13.13) の第2・第3項が消える。第1項も、計量が $x^1$ によらないので消える。つまり「計量が座標 $x^1$ によらない」なら $\partial_1$ は Killing ベクトルである。

逆に、Killing ベクトルが0でない点の近くでは、そのベクトルが $\partial_1$ となる座標を作れる（§13.5 の定理 13.19）。その座標では計量が $x^1$ によらない。

命題 13.13（共変微分による Killing 方程式）

$K_i=g_{ij}K^j$ とおき、 $\nabla$ を Levi-Civita 接続（第9章 §9.2）とすると、次の式が成り立つ。

$(\mathcal L_Kg)_{ij}=\nabla_iK_j+\nabla_jK_i.$

したがって Killing 方程式は $\nabla_iK_j+\nabla_jK_i=0$ と書ける。

証明

下付き3つの Christoffel 記号を次のように書く。

$\Gamma_{k,ij}=\tfrac12\bigl(\partial_ig_{kj}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}\bigr).$

共変微分の定義から、次の式になる。

$\nabla_iK_j=\partial_i(g_{jk}K^k)-\Gamma^l{}_{ij}g_{lk}K^k=g_{jk}\partial_iK^k+K^k\partial_ig_{jk}-\Gamma_{k,ij}K^k.$

添字を入れ替えた式と足す。Christoffel 記号は後ろの2つの添字について対称なので、その項は $2\Gamma_{k,ij}K^k$ になる。

$\nabla_iK_j+\nabla_jK_i=g_{jk}\partial_iK^k+g_{ik}\partial_jK^k+K^k\bigl(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-2\Gamma_{k,ij}\bigr).$

括弧の中は $\partial_kg_{ij}$ に等しいので、右辺は (13.10) と一致する。

Euclid 平面と球面の Killing ベクトル

例：Euclid 平面の Killing ベクトルはちょうど3つ

直交座標では計量の成分が定数なので、Killing 方程式は $\partial_iK_j+\partial_jK_i=0$ になる。成分に分けると3本の式である。

$\partial_xK_x=0,\qquad \partial_yK_y=0,\qquad \partial_xK_y+\partial_yK_x=0.$

最初の2式から $K_x=a(y)$ 、 $K_y=b(x)$ と書ける。3式目は $b'(x)+a'(y)=0$ となる。

左の項は横の座標だけ、右の項は縦の座標だけの関数なので、両方とも定数である。その定数を $\omega$ とおくと、2つの関数は1次式になる。

$b'=\omega,\qquad a'=-\omega,\qquad K=(c_1-\omega y)\,\partial_x+(c_2+\omega x)\,\partial_y=c_1\partial_x+c_2\partial_y+\omega R.$

Killing ベクトルは2つの並進と1つの回転の線形結合で、独立なものはちょうど3つである。

一般に $n$ 次元の多様体の独立な Killing ベクトルは高々 $n(n+1)/2$ 個で、Euclid 空間と球面はこの上限に達する。上限の証明には、Killing ベクトルが1点での値と1階微分で決まることを使う（Killing 方程式をもう1回微分し、第11章の Riemann テンソルで書き直すと示せるが、この巻では扱わない）。この章では主張だけを使う。

半径1の球面 $g=\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2$ では、(13.5) の3つの回転を制限したものが Killing ベクトルになる。極座標 $(\theta,\varphi)$ で書くと次の形である（例題 13.3 で $R_x$ を導く）。

$R_x=-\sin\varphi\,\partial_\theta-\cot\theta\cos\varphi\,\partial_\varphi,\qquad R_y=\cos\varphi\,\partial_\theta-\cot\theta\sin\varphi\,\partial_\varphi,\qquad R_z=\partial_\varphi.\tag{13.14}$

これらの括弧は (13.6) と同じ関係を満たす。球面の外の空間でも球面の上でも、回転を合成する規則は同じだからである。

図 13.2　球面の Killing ベクトル $R_z=\partial_\varphi$ の流れ（青）。流れの線は緯線で、流れは球面を鉛直の軸まわりに回すので長さと角を変えない。赤い線は大円（測地線）の1つで、その上を進む自由粒子では $g(R_z,\dot x)=\sin^2\theta\,\dot\varphi$ が一定に保たれる（定理 13.14）。極では $R_z=0$ になり、流れは止まる。

測地線に沿って保存する量

定理 13.14（Killing ベクトルの保存量）

$x(\tau)$ を測地線とする（ $\tau$ はアフィンパラメータ）。任意のベクトル場 $K$ について次の式が成り立つ。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\,g\bigl(K,\dot x\bigr)=\frac12\,(\mathcal L_Kg)_{ij}\,\dot x^i\dot x^j.\tag{13.15}$

とくに $K$ が Killing ベクトルなら、次の量は測地線に沿って一定である。

$g(K,\dot x)=g_{ij}K^i\dot x^j.$

証明

測地線の方程式（第10章 §10.1）を、下付きの Christoffel 記号で書いておく。

$g_{ij}\ddot x^j=-\Gamma_{i,kl}\,\dot x^k\dot x^l.$

左辺の量を積の微分で展開する。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\bigl(g_{ij}K^i\dot x^j\bigr)=\dot x^k\partial_kg_{ij}\,K^i\dot x^j+g_{ij}\,\dot x^k\partial_kK^i\,\dot x^j+K^ig_{ij}\ddot x^j.$

最後の項に測地線の方程式を代入する。速度の積は2つの添字について対称なので、Christoffel 記号の対称な部分だけが残る。

$K^ig_{ij}\ddot x^j=-K^i\Bigl(\partial_kg_{il}-\tfrac12\partial_ig_{kl}\Bigr)\dot x^k\dot x^l.$

これは展開の第1項を打ち消し、計量の微分の項を半分だけ残す。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}g(K,\dot x)=\Bigl(\tfrac12K^i\partial_ig_{kj}+g_{ij}\partial_kK^i\Bigr)\dot x^k\dot x^j.$

括弧の第2項を添字の組について対称化すると、次の形になる。

$\tfrac12\bigl(g_{ij}\partial_kK^i+g_{ki}\partial_jK^i\bigr).$

これで括弧全体が $\tfrac12(\mathcal L_Kg)_{kj}$ に等しくなり、(13.15) が出る。

この定理は、計量を保つ流れがあれば、それに対応する保存量が1つあると言っている。測地線の方程式は2階の微分方程式なので、保存量は「1回積分した式」を与え、解くべき方程式の階数を下げる。曲がった時空の自由落下も測地線なので、同じ定理から Schwarzschild 時空のエネルギーと角運動量の保存が出る（相対論入門第9章、Schwarzschild 時空の軌道そのものは第12章）。

例（物理）：回転面と Clairaut の関係

鉛直な軸のまわりの回転面を、高さ $z$ と方位角 $\varphi$ で表す。軸からの距離を $\rho(z)$ とすると、計量は次の形である。

$g=\bigl(1+\rho'(z)^2\bigr)\mathrm{d} z^2+\rho(z)^2\mathrm{d}\varphi^2.$

成分が方位角によらないので、 $\partial_\varphi$ は Killing ベクトルである。定理 13.14 から、 $g(\partial_\varphi,\dot x)=\rho^2\dot\varphi$ が測地線に沿って一定になる。

弧長をパラメータにとり、測地線が緯線となす角を $\psi$ とすると、 $\rho\dot\varphi=\cos\psi$ である。したがって $\rho\cos\psi$ が一定になる。これが第10章 §10.2 の Clairaut の関係で、ここでは「回転対称性に対応する保存量」として読める。自由粒子なら、この量に質量を掛けたものは角運動量の鉛直成分そのものである。

例題 13.3　球面の自由粒子と3つの角運動量 ★★★

オリジナル半径1の球面上を、力を受けずに運動する質量 $m$ の粒子を考える。運動は測地線で、時刻をアフィンパラメータにとれる。

(13.5) の $R_x=y\,\partial_z-z\,\partial_y$ を球面の座標 $(\theta,\varphi)$ で書き、(13.14) を導け。さらに、それが Killing 方程式を満たすことを確かめよ。
次の3つの保存量が、角運動量 $m\,\bm r\times\dot{\bm r}$ の成分に等しいことを示せ。

$\ell_i=m\,g(R_i,\dot x)\qquad(i=x,y,z).$ 3. 粒子が点 $(1,0,0)$ を、速度 $\omega(0,\cos\alpha,\sin\alpha)$ で通るとする。角は $0<\alpha<\pi/2$ とする。このときの3つの保存量を求めよ。また、保存量だけを使って、粒子が達する最も高い点の高さを求めよ。

解答

(1) 球面の点は $\bm r=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ である。座標基底を空間のベクトルとして書くと次のとおりになる。

$\partial_\theta\bm r=(\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;-\sin\theta),\qquad \partial_\varphi\bm r=(-\sin\theta\sin\varphi,\;\sin\theta\cos\varphi,\;0).$

$R_x$ は空間のベクトル $(0,-z,y)=(0,-\cos\theta,\sin\theta\sin\varphi)$ である。

これを $a\,\partial_\theta\bm r+b\,\partial_\varphi\bm r$ と書き、成分を比べる。

$\begin{aligned}\text{第3成分：}&\quad -a\sin\theta=\sin\theta\sin\varphi &&\Longrightarrow\quad a=-\sin\varphi,\\ \text{第1成分：}&\quad a\cos\theta\cos\varphi-b\sin\theta\sin\varphi=0 &&\Longrightarrow\quad b=-\cot\theta\cos\varphi,\\ \text{第2成分：}&\quad a\cos\theta\sin\varphi+b\sin\theta\cos\varphi=-\cos\theta &&\text{（確かに合う）}.\end{aligned}$

次に Killing 方程式を確かめる。計量の成分は $g_{\theta\theta}=1$ と $g_{\varphi\varphi}=\sin^2\theta$ だけで、どちらも極角だけによる。成分 $(K^\theta,K^\varphi)=(-\sin\varphi,\,-\cot\theta\cos\varphi)$ を (13.13) に入れる。

$\begin{aligned}(\mathcal L_Kg)_{\theta\theta}&=2g_{\theta\theta}\partial_\theta K^\theta=0,\\ (\mathcal L_Kg)_{\theta\varphi}&=g_{\theta\theta}\partial_\varphi K^\theta+g_{\varphi\varphi}\partial_\theta K^\varphi =-\cos\varphi+\sin^2\theta\cdot\frac{\cos\varphi}{\sin^2\theta}=0,\\ (\mathcal L_Kg)_{\varphi\varphi}&=K^\theta\partial_\theta g_{\varphi\varphi}+2g_{\varphi\varphi}\partial_\varphi K^\varphi =-2\sin\varphi\sin\theta\cos\theta+2\sin^2\theta\cot\theta\sin\varphi=0.\end{aligned}$

3成分とも0なので、 $R_x$ は Killing ベクトルである。

(2) 球面の計量は空間の内積の制限なので、 $g(R_i,\dot x)$ は空間のベクトルの内積 $\bm R_i\cdot\dot{\bm r}$ に等しい。 $\bm R_x=(0,-z,y)=\bm e_x\times\bm r$ なので、スカラー三重積の性質を使う。

$m\,\bm R_x\cdot\dot{\bm r}=m\,(\bm e_x\times\bm r)\cdot\dot{\bm r}=\bm e_x\cdot(m\,\bm r\times\dot{\bm r}).$

ほかの2つの回転も同じで、 $\ell_i$ は角運動量の第 $i$ 成分である。

(3) 角運動量を直接計算する。

$m\,\bm r\times\dot{\bm r}=m\omega\,(1,0,0)\times(0,\cos\alpha,\sin\alpha)=m\omega\,(0,\;-\sin\alpha,\;\cos\alpha).$

よって3つの保存量は $(\ell_x,\ell_y,\ell_z)=m\omega(0,-\sin\alpha,\cos\alpha)$ である。3つとも一定なので、粒子は法線 $(0,-\sin\alpha,\cos\alpha)$ の平面の中を動く。軌道はこの平面と球面の交わり（大円）になる。

最も高い点を保存量で求める。

そこでは極角の変化率が0なので、速度は緯線の向きだけを持つ。速さの2乗 $g(\dot x,\dot x)$ も保存量なので、速さは一定値 $\omega$ をとる。したがって最高点では $\sin\theta\,\left\vert \dot\varphi\right\vert =\omega$ である。 $\ell_z=m\sin^2\theta\,\dot\varphi$ と合わせると、次の式が出る。

$\sin\theta=\frac{\ell_z}{m\omega}=\cos\alpha,\qquad z=\cos\theta=\sin\alpha.$

初速が赤道となす角が、そのまま最高点の緯度になる。

Killing ベクトルは Lie 括弧で閉じる

命題 13.15

$K_1,K_2$ が Killing ベクトルなら、 $[K_1,K_2]$ も Killing ベクトルである。

証明

任意のテンソルに作用する作用素として、次の恒等式が成り立つ。

$\mathcal L_{[X,Y]}=\mathcal L_X\mathcal L_Y-\mathcal L_Y\mathcal L_X.\tag{13.16}$

関数では、これは Lie 括弧の定義そのものである。ベクトル場では、定理 13.8 により Jacobi 恒等式と同じ式になる。

$[[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]].$

1形式では、命題 13.10 (i) で $\alpha(Z)$ に両辺を作用させれば、関数とベクトル場の場合に帰着する。 $(0,2)$ 型テンソルも同じ縮約の議論で帰着できる。(13.16) を計量に作用させると、右辺の2項がどちらも0になる。したがって $\mathcal L_{[K_1,K_2]}g=0$ である。

球面の3つの回転 (13.14) で言えば、2つの回転の括弧は3つ目の回転の $-1$ 倍になり、Killing ベクトルの範囲から出ない。対称性の生成子は Lie 括弧で閉じた集まり（Lie 代数）を作る。

確認テスト

オリジナル

13.3-1 Euclid 平面で、拡大 $D=x\,\partial_x+y\,\partial_y$ は Killing ベクトルか。 $\mathcal L_D\delta$ を計算して答えよ。
13.3-2 上半平面 $y>0$ に次の計量を入れた双曲平面（Poincaré 上半平面）を考える。

$g=\frac{\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2}{y^2}.$

拡大 $D=x\,\partial_x+y\,\partial_y$ が Killing ベクトルであることを示せ。また、次の測地線に沿って $g(D,\dot x)$ を計算し、一定であることを確かめよ（ $a>0$ ）。

$x=c+a\tanh\tau,\qquad y=\frac a{\cosh\tau}.$ 3. 13.3-3 2次元の Minkowski 時空 $g=\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2$ を考える（ $c=1$ ）。ブースト $B=x\,\partial_t+t\,\partial_x$ が Killing ベクトルであることを示せ。さらに等速直線運動 $x=x_0+vt$ を固有時でパラメータ表示し、 $g(B,\dot x)$ が一定であることを確かめて、その値を求めよ。4. 13.3-4 球面の (13.14) について、 $[R_z,R_x]$ を極座標の成分で計算し、 $-R_y$ に等しいことを確かめよ。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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