Noether の定理の幾何

(1) 回転の成分は $(R^x,R^y)=(-y,x)$ である。(13.18) から、速度の成分の変化率は $(-\dot y,\dot x)$ になる。

$$\tilde R=-y\,\partial_x+x\,\partial_y-\dot y\,\partial_{\dot x}+\dot x\,\partial_{\dot y}.$$

運動エネルギーには $\tilde R(\dot x^2+\dot y^2)=2\dot x(-\dot y)+2\dot y\dot x=0$ となる。磁場の項には次のとおりになる。

$$\tilde R(x\dot y-y\dot x)=(-y)\dot y-x\dot x+x\dot x-y(-\dot y)=0.$$

よって $\tilde RL=0$ で、回転は対称性である。

正準運動量は次のとおりである。

$$p_x=m\dot x-\tfrac{eB}2y,\qquad p_y=m\dot y+\tfrac{eB}2x.$$

(13.19) から保存量を作る。

$$Q_R=p_x(-y)+p_y\,x=m(x\dot y-y\dot x)+\frac{eB}2(x^2+y^2).$$

運動学的な角運動量だけでは保存せず、磁場の項を足したものが保存する。

(2) 並進の成分は定数なので、持ち上げは $\tilde X=\partial_x$ のままである。Lagrangian を横の座標で偏微分すると、次の式になる。

$$\tilde XL=\frac{eB}2\,\dot y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(\frac{eB}2\,y\Bigr).$$

0ではないので対称性ではないが、$\Lambda_x=\tfrac{eB}2y$ の準対称性である。保存量は $Q_x=p_x-\Lambda_x=m\dot x-eBy$ になる。

縦方向も同じで、$\partial_yL=-\tfrac{eB}2\dot x$ なので $\Lambda_y=-\tfrac{eB}2x$ の準対称性である。保存量は $Q_y=p_y-\Lambda_y=m\dot y+eBx$ になる。運動方程式から直接確かめることもできる。

$$m\ddot x=eB\dot y,\quad m\ddot y=-eB\dot x\qquad\Longrightarrow\qquad \dot Q_x=\dot Q_y=0.$$

(3) 円運動を位相 $\psi$ で表す。

$$x=X_c+\rho\cos\psi,\qquad y=Y_c+\rho\sin\psi,\qquad \dot\psi=-\omega_c.$$

位相の変化率は運動方程式から決まり、このとき速度は次の形になる。

$$\dot x=\omega_c(y-Y_c),\qquad \dot y=-\omega_c(x-X_c).$$

これを並進の保存量に代入すると、次の結果になる。

$$Q_x=m\omega_c(y-Y_c)-eBy=-eBY_c,\qquad Q_y=eBX_c.$$

回転の保存量も代入して計算する。次の式を使う。

$$x\dot y-y\dot x=-\omega_c\bigl(\rho^2+\rho(X_c\cos\psi+Y_c\sin\psi)\bigr).$$

代入して整理する。

$$\begin{aligned}Q_R&=-eB\bigl(\rho^2+\rho(X_c\cos\psi+Y_c\sin\psi)\bigr)\\ &\quad+\frac{eB}2\bigl(X_c^2+Y_c^2+\rho^2+2\rho(X_c\cos\psi+Y_c\sin\psi)\bigr)\\ &=\frac{eB}2\bigl(X_c^2+Y_c^2-\rho^2\bigr).\end{aligned}$$

並進の保存量は円の中心の位置、回転の保存量は中心の原点からの距離と半径の組み合わせである。

(4) 与えられた値では $eB=2$、$\omega_c=2$ である。初期値を代入する。

$$Q_x=0-2\cdot0=0,\qquad Q_y=1+2\cdot1=3,\qquad Q_R=1\cdot(1\cdot1-0)+1\cdot(1+0)=2.$$

(3) から中心は $(X_c,Y_c)=(3/2,\,0)$ である。半径は速さを角振動数で割って $\rho=1/2$ になる。検算として $\tfrac{eB}2(X_c^2-\rho^2)=\tfrac94-\tfrac14=2$ が回転の保存量と一致する。