流れの箱の定理と循環座標の作り方

手順1（不変量）。流れの線は $\dot x=-y$、$\dot y=x$ の解である。特性方程式は次の形になる。

$$\frac{\mathrm{d} x}{-y}=\frac{\mathrm{d} y}{x}.$$

分母を払うと $x\,\mathrm{d} x+y\,\mathrm{d} y=0$ なので、$\tfrac12\mathrm{d}(x^2+y^2)=0$ である。不変量は $x^2+y^2$ の関数で、原点からの距離 $f=r$ を選ぶ。実際 $Xr=(-y)\,x/r+x\,y/r=0$ である。

手順2（流れの時間）。$Xs=1$ を解く。半径 $r_0$ の円の上で、次の曲線は流れの線そのものである。

$$x=r_0\cos s,\qquad y=r_0\sin s\qquad(\dot x=-y,\ \dot y=x\ \text{を満たす}).$$

したがって、点の $s$ は正の横軸から測った角である。

$$s=\theta=\operatorname{atan2}(y,x),\qquad X\theta=(-y)\cdot\frac{-y}{r^2}+x\cdot\frac{x}{r^2}=1.$$

ここで角の偏微分 $(\partial_x\theta,\partial_y\theta)=(-y/r^2,\,x/r^2)$ を使った。面 $\Sigma$ は、角が0の半直線（正の横軸）である。

手順3（独立性）。$(r,\theta)$ の Jacobi 行列式は $\partial(r,\theta)/\partial(x,y)=1/r$ で、原点以外では0でない。原点では $X=0$ で流れが止まり、定理 13.19 の仮定が成り立たない。また角は1周で $2\pi$ ずれるので、1つの座標として使えるのは半直線を1本除いた範囲である。

手順4（Lagrangian）。$(x,y)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ を代入すると、速さの2乗は次の式になる。

$$\dot x^2+\dot y^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2,\qquad L=\frac m2\bigl(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\bigr)-V(r).$$

Lagrangian は角を含まないので、角は循環座標である。保存量は $p_\theta=mr^2\dot\theta$ で、定理 13.20 の $p_iX^i=m(x\dot y-y\dot x)$ と一致する。極座標は「回転の流れの時間 $\theta$ と、回転の不変量 $r$」の組として出てきたのである。

(1) 手順2（流れの時間）から始める。鉛直成分の流れは $\dot z=b$ なので、$s=z/b$ とおけばよい。

$$Xs=b\cdot\frac1b=1.$$

手順1（不変量）。流れは水平な成分を角 $s$ だけ回し、高さを $bs$ だけ上げる。そこで、点の水平な成分を角 $z/b$ だけ逆に回した量を考える。

$$u=x\cos\frac zb+y\sin\frac zb,\qquad v=-x\sin\frac zb+y\cos\frac zb.$$

流れで水平な成分が角 $s$ 回るとき、逆に回す角もちょうど同じだけ増える。したがって $u,v$ は流れで変わらない。

式でも確かめる。$c=\cos(z/b)$、$\sigma=\sin(z/b)$ と略す。高さについての微分は $(\partial_zu,\partial_zv)=(v/b,\,-u/b)$ である。

$$\begin{aligned}Xu&=(-y)c+x\sigma+b\cdot\frac vb=-yc+x\sigma+(-x\sigma+yc)=0,\\ Xv&=(-y)(-\sigma)+xc+b\cdot\Bigl(-\frac ub\Bigr)=y\sigma+xc-(xc+y\sigma)=0.\end{aligned}$$

手順3（独立性）。逆変換は、$(u,v)$ を角 $s$ だけ回して戻せば得られる。

$$x=u\cos s-v\sin s,\qquad y=u\sin s+v\cos s,\qquad z=bs.$$

この写像の Jacobi 行列式の大きさは $\left\vert b\right\vert$ で、全空間で0にならない。定数が0でなければ、この流れは空間のどこでも止まらず、この座標は空間全体で使える。回転だけの流れでは軸の上で流れが止まり、例題 13.5 のように箱が軸を含められないのと対照的である。

(2) 速度を新しい座標で書く。水平な成分は $(u,v)$ を角 $s$ 回したものなので、時間で微分すると回転の項が加わる。

$$\begin{pmatrix}\dot x\\ \dot y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos s&-\sin s\\ \sin s&\cos s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dot u-v\dot s\\ \dot v+u\dot s\end{pmatrix},\qquad \dot z=b\dot s.$$

回転行列は長さを変えないので、運動エネルギーは次の式になる。

$$\begin{aligned}T&=\frac m2\Bigl[(\dot u-v\dot s)^2+(\dot v+u\dot s)^2+b^2\dot s^2\Bigr]\\ &=\frac m2\Bigl[\dot u^2+\dot v^2+(u^2+v^2+b^2)\dot s^2+2\dot s\,(u\dot v-v\dot u)\Bigr].\end{aligned}$$

運動エネルギーもポテンシャルも $s$ を含まないので、Lagrangian の中で $s$ は循環座標である。運動エネルギーの計量には $\dot s\dot u$ と $\dot s\dot v$ の交差項があり、この座標基底は直交していない。直交しない座標でも、循環座標の保存は成り立つ。

(3) $\dot s$ で微分して正準運動量を求める。

$$p_s=\frac{\partial L}{\partial\dot s}=m\Bigl[(u^2+v^2+b^2)\dot s+u\dot v-v\dot u\Bigr].$$

定理 13.20 によれば、これは $p_iX^i$ に等しい。

$$p_s=p_x(-y)+p_y\,x+p_z\,b=\ell_z+b\,p_z,\qquad \ell_z=m(x\dot y-y\dot x),\quad p_z=m\dot z.$$

ポテンシャルが螺旋の形をしているので、角運動量と鉛直の運動量は別々には保存しない。保存するのは組み合わせ $\ell_z+bp_z$ だけである。