可積分系と作用角変数

物理のための微分幾何入門　第14章 §14.6　★★★ 保存量は局所にはいつでもあるが、相空間全体で1価なものは一般には無い。自由度と同じ数だけそろえば、運動はトーラスの上の等速回転になる

保存量の見つけ方

保存量 $F$ は $\{F,H\}=0$ を満たす関数である。この条件は未知関数についての1階の偏微分方程式で、それを解く方法は主に次の3つである。

1. (1) 対称性から作る。Hamiltonian を保つ流れがあれば、命題 14.14 によりその生成子が保存量になる。座標 $q^k$ が Hamiltonian に現れない（循環座標）なら、共役な運動量が保存する。回転対称なら角運動量が保存する（第13章 §13.3〜§13.5）。
2. (2) Hamilton–Jacobi 方程式 (14.22) を変数分離で解く。分離するたびに現れる分離定数は、それぞれ保存量である。中心力の問題を球座標で分離すると、エネルギーと $\left\vert \bm{L}\right\vert ^2$ と $L_z$ の3つが出る。
3. (3) 候補の関数を作り、括弧が0になることを直接確かめる。Kepler 問題の Runge–Lenz ベクトルは、配位空間の回転では説明できない保存量の例である。

このように探して見つからないとき、保存量がそもそも存在しないのかどうかが問題になる。その答えは、局所と大域で分かれる。

保存量は局所には自明に存在する

証明

第13章 §13.5 の流れの箱の定理を使う。点の近傍に局所座標 $(s,y^1,\dots,y^{2n-1})$ があって、$X_H=\partial_s$ となる。各 $y^k$ は $X_Hy^k=0$ を満たすので、流れに沿って一定である。これらは座標なので、互いに独立である。

この命題によると、平衡点を除けば、保存量は局所にはいつでも存在する。$y^k$ は、軌道が流れの箱のどこを通るかを表す番号にすぎない。軌道ごとに値を割り振れば、それは保存量になる。意味のある問いは、保存量が相空間全体（あるいは等エネルギー面全体）で1価かつ滑らかな関数として存在するかどうかである。

証明

保存量 $F$ は、軌道の上で一定の値 $c$ をとる。保存量は連続なので、軌道の閉包の上でも値は $c$ である。軌道は開集合の中で稠密なので、閉包は $U$ を含む。

局所の保存量は、軌道が流れの箱を出て戻ってきたとき、前と違う値を割り振られることになる。戻ってくるたびに軌道がその近くを少しずつ埋めていくと、1価のまま延長することはできない。これが「保存量は局所には自明で、大域には一般に無い」の意味である。

Liouville–Arnold の定理

(i) を証明し、(ii) と (iii) は証明の筋を示す。

(i) の証明

微分が独立なので、陰関数定理から $M_c$ は $2n-n=n$ 次元の部分多様体である。$X_{F_i}F_j=\{F_j,F_i\}=0$ なので、各ベクトル場は等位集合に接し、その流れは等位集合を保つ。$\omega$ が非退化なので、対応 $\mathrm{d} F\mapsto X_F$ は線形同型である。したがって $n$ 本のベクトル場は各点で独立で、等位集合の接空間を張る。

(14.12) から、$\omega(X_{F_i},X_{F_j})=\{F_j,F_i\}=0$ である。したがって等位集合は Lagrange である。

(ii) の筋を述べる。系 14.13 から $[X_{F_i},X_{F_j}]=-X_{\{F_i,F_j\}}=0$ で、$n$ 本の流れは可換である。各 $s\in\mathbb{R}^n$ に対して、流れを順に合成した写像を $\Phi_s$ とする。これは加法群 $\mathbb{R}^n$ の作用になる。

この作用は連結な等位集合の上で推移的である。ある点を固定する $s$ の集合は、離散部分群 $\Gamma\subset\mathbb{R}^n$ になる。等位集合がコンパクトなので、$\Gamma$ は独立な $n$ 本のベクトルが生成する格子である。したがって $M_c\cong\mathbb{R}^n/\Gamma\cong T^n$ となる。

(iii) の筋を述べる。等位集合は Lagrange なので、$\theta$ の引き戻しは閉形式である。Stokes の定理から、$\oint_\gamma\theta$ は閉曲線を等位集合の中で連続に変形しても変わらない。したがって作用変数は、$c$ だけの関数として定まる。

等位集合の上の積分 $S(q,I)=\int^q\theta$ を、第2種の母関数に使う。すると $\varphi^i=\partial S/\partial I_i$ が角度変数になる。閉曲線 $\gamma_j$ を1周したときの角度の増分は、$2\pi\delta^i{}_j$ になる。完全な証明は、Arnold の古典力学の数学的方法の本に譲る。

不変なトーラスの上で、角度は (14.23) により一定の角速度で回る。自由度1の系では、コンパクトな等エネルギー線はそのまま1次元のトーラス（円）である。したがって自由度1の系は、Hamiltonian だけで可積分である。

自由度1の作用変数と周期

自由度1の系で、エネルギー $E$ の閉じた軌道が囲む面積を $A(E)$ とする。

$$A(E)=\oint p\,\mathrm{d} q,\qquad I=\frac{A(E)}{2\pi}$$

証明

軌道の上半分と下半分を $p=p_\pm(q,E)$ と書くと、$A(E)=\int(p_+-p_-)\,\mathrm{d} q$ である。恒等式 $H(q,p_\pm(q,E))=E$ をエネルギーで微分すると、次を得る。

$$\frac{\partial p_\pm}{\partial E}=\frac{1}{\partial H/\partial p}=\frac{1}{\dot q}$$

転回点では上下の運動量が一致するので、積分の端の動きは寄与しない。したがって $\mathrm{d} A/\mathrm{d} E=\oint\mathrm{d} q/\dot q=\oint\mathrm{d} t=T$ である。

単振り子の Hamiltonian を $H=p^2/2ml^2-mgl\cos q$ とする。エネルギーが $mgl$ より小さい秤動の軌道は、相空間の閉曲線である。$mgl$ より大きい回転の軌道は、円柱を1周する曲線である。境目の軌道がセパラトリクスである（図 14.6）。

秤動では閉曲線を閉じた軌道にとり、回転では円柱を1周する閉曲線にとる。セパラトリクスに近づくと面積の傾きが無限大になり、周期は対数的に発散する。

大域的な保存量が無い場合と、Poincaré・KAM の入口

2次元の調和振動子を考える。

$$H=H_1+H_2,\qquad H_i=\frac{p_i^2}{2m}+\frac{m\omega_i^2q_i^2}{2}$$

$H_1$ と $H_2$ は包合的な保存量なので、この系は可積分である。作用角変数では $H=\omega_1I_1+\omega_2I_2$ で、不変トーラスの上で角度は $\varphi^i=\omega_it+\varphi^i_0$ と回る。

局所には、3つ目の保存量として次の関数がある。

$$K=\omega_2\varphi^1-\omega_1\varphi^2$$

ところが1つ目の角度を1周させると、この関数の値は $2\pi\omega_2$ だけ変わる。したがってこの関数は、トーラスの上で1価でない。

振動数の比が無理数なら、各トーラスの上で軌道は稠密になる（確認テスト 14.6-4）。命題 14.29 から、連続な保存量は各トーラスの上で定数である。すなわち、それは $I_1,I_2$ だけの関数である。したがって、2つの作用変数から作れない独立な保存量は存在しない。

振動数の比が有理数 $\omega_1/\omega_2=r/s$ なら、事情が変わる（$r,s$ は互いに素な自然数）。角度の組み合わせ $s\varphi^1-r\varphi^2$ は時間によらず、1周しても $2\pi$ の整数倍しかずれない。したがって、次の関数は1価の保存量になる。

$$G=I_1^{s/2}I_2^{r/2}\cos(s\varphi^1-r\varphi^2)$$

とくに等方的な振動子では、角運動量がこの形の保存量になる。

$$L_z=q_1p_2-q_2p_1=2\sqrt{I_1I_2}\,\sin(\varphi^1-\varphi^2)$$

保存量が大域的に存在するかどうかは、振動数の比が有理数か無理数かという数論的な性質で決まる。

可積分な系に小さな摂動を加えた系 $H=H_0(I)+\epsilon H_1(I,\varphi)$ では、事情はさらに変わる。Poincaré は19世紀の終わりに、一般の摂動について次のことを示した。Hamiltonian 以外に、摂動の大きさについて解析的な保存量は存在しない。しかし保存量が相空間全体に無いことは、どの不変トーラスも残らないことを意味しない。

Kolmogorov・Arnold・Moser の定理（KAM 定理）は、次のことを主張する。摂動のない部分が非退化（$\det(\partial^2H_0/\partial I_i\partial I_j)\ne0$）で、摂動が十分小さいとする。このとき、振動数の比が十分に無理数的なトーラス（Diophantus 条件を満たすもの）は、少し変形して生き残る。生き残るトーラスの全体の測度は、摂動を0に近づけると1に近づく。

振動数の比が有理数に近いトーラスは壊れ、その跡に島の列とカオス的な軌道の層が現れる。証明は入門の範囲を超えるので、ここでは主張だけを述べる。

図 14.7 は、周期的にたたかれる回転子の Poincaré 写像（標準写像）である。

$$H=\frac{p^2}2+K\cos q\sum_n\delta(t-n)$$

時刻 $t=1,2,\dots$ ごとに点 $(q,p)$ を打つと、次の写像になる。

$$p_{n+1}=p_n+K\sin q_n,\qquad q_{n+1}=q_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}$$

この写像のヤコビ行列の行列式は1で、面積を保つ正準変換である。

$K=0$ なら運動量は保存し、各水平線が不変な円（1次元のトーラス）になる。$K=0.97$ では、左右に横切る曲線として残るトーラス、島の列、点がばらまかれた領域が共存する。ばらまかれた領域の軌道は2次元の領域を埋める。したがってそこでは、運動量に代わる連続な保存量は存在しない。

確認テスト

オリジナル

1. 14.6-1 2次元の調和振動子 $H=H_1+H_2$ で、$\{H_1,H_2\}=0$ を示せ。2つの微分が1次独立になるのはどんな点か答えよ。
2. 14.6-2 区間 $[0,a]$ の中を、壁で弾性的に跳ね返りながら動く質量 $m$ の粒子を考える。作用変数をエネルギーで表し、逆にエネルギーを作用変数で表せ。角振動数 $\nu=\mathrm{d} E/\mathrm{d} I$ を求めよ。周期が、速さ $v$ で往復する時間 $2a/v$ に一致することを確かめよ。
3. 14.6-3 質量1の2次元の振動子を考える。

$$H=\frac12(p_1^2+p_2^2)+\frac12(\omega_1^2q_1^2+\omega_2^2q_2^2)$$

角運動量 $L_z=q_1p_2-q_2p_1$ について $\{L_z,H\}$ を計算せよ。$L_z$ が保存量になるのは $\omega_1^2=\omega_2^2$ のときに限ることを示せ。4. 14.6-4 $\alpha$ を無理数とする。円周の回転の軌道 $\{n\alpha\bmod1\}$ が区間 $[0,1)$ で稠密であることを示せ。これを使って、振動数の比が無理数のとき2次元トーラスの上の軌道が稠密であることを示せ。5. 14.6-5 単振り子 $H=p^2/2ml^2-mgl\cos q$ の回転の軌道について、作用変数を次で定める。

$$I=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}p\,\mathrm{d} q$$

エネルギーが $mgl$ より十分大きいとき $I\approx\sqrt{2ml^2E}$ となることを示せ。そのとき角振動数が平均の角速度に一致することを確かめよ。