この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第14章 §14.7

相空間は配位空間の余接束で、そこには座標によらない標準1形式 $\theta=p_i\,\mathrm{d} q^i$ が載っている。その外微分が正準2形式 $\omega=\mathrm{d} p_i\wedge\mathrm{d} q^i$ で、閉かつ非退化である。Darboux の定理により、シンプレクティック多様体は局所的な不変量を持たない。この点で、曲率という局所的な不変量を持つ計量とは性質が違う。

関数 $H$ からは、$\iota_{X_H}\omega=-\mathrm{d} H$ で Hamilton ベクトル場が決まる。正準座標では、これは Hamilton 方程式 $\dot q=\partial H/\partial p$、$\dot p=-\partial H/\partial q$ になる。エネルギーの保存は $\omega$ の反対称性から出る。Poisson 括弧は $\{f,g\}=\omega(X_g,X_f)$ で、括弧が0の2つの関数は可換な流れを生成する。

Cartan の公式から $\mathcal L_{X_H}\omega=0$ で、Hamilton の流れは正準変換である。その結果、相空間の体積が保たれる（Liouville の定理）。これは統計力学の平衡分布が時間によらないことの根拠になる。正準変換では $F^*\theta-\theta$ が閉形式になり、Poincaré の補題によって局所には母関数の外微分として書ける。

Hamilton–Jacobi 方程式で運動量が場 $p=\partial S/\partial q$ になるのは、解の族を選ぶからである。その族は Lagrange 部分多様体をなし、それを位置の上のグラフとして読んだものが場である。$S$ は族の解に沿った作用で、その等高面が波面になる。族が焦線を作ると場は特異になるが、相空間の部分多様体は滑らかなままである。

保存量は、平衡点を除けば局所にはいつでも存在する。問題は相空間全体で1価な保存量があるかどうかで、軌道が稠密に埋める領域ではそれは定数に限られる。包合的な保存量が自由度の数だけそろえば、Liouville–Arnold の定理により運動は不変トーラスの上の等速回転になる。作用変数は $\frac1{2\pi}\oint\theta$ で与えられる。

摂動を加えると、Poincaré の定理が示すように保存量は一般に失われる。一方、KAM 定理が示すように、十分に無理数的なトーラスは残る。第15章では、閉曲線に沿った1形式の積分と、その値が曲率の面積分で書けるという考え方を、Gauss–Bonnet の定理と Berry 位相に使う。作用変数の断熱不変性と量子化条件 $I=n\hbar$ は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第1部第14章へ送る。