Hamilton–Jacobi と作用の波面

物理のための微分幾何入門　第14章 §14.5　★★★ 運動量が $(q,t)$ の関数（場）になるのは、解の族を1つ選んだときだけである

1本の解と解の族

Hamilton 形式では、位置と運動量は相空間の独立な座標で、どちらも相手の関数ではない。1本の解は相空間の曲線 $t\mapsto(q(t),p(t))$ で、各時刻に相空間の1点を指す。同じ位置を同じ時刻に通る解は、運動量の値を変えれば無数にある。したがって「位置 $q$ での運動量」という量は、運動方程式だけからは決まらない。

一方、Hamilton–Jacobi 方程式では $p=\partial S/\partial q$ と書き、運動量を位置と時刻の関数として扱う。これは配位空間の上の場である。この食い違いは、解を1本でなく族で考えると解消する。

$n$ 個のパラメータ $a=(a^1,\dots,a^n)$ を持つ解の族をとる。各解を $(q(t;a),p(t;a))$ と書く。時刻 $t$ での点の集まりは、相空間の $n$ 次元の部分多様体になる。

$$L_t=\{(q(t;a),\,p(t;a))\mid a\text{ を動かす}\}$$

$L_t$ が位置の空間の上のグラフになっているとする。すなわち、各位置の上に $L_t$ の点がちょうど1つあるとする。このときその点の運動量を読むことで、関数 $p=p(q,t)$ が決まる。

これが運動量の場の正体である。場は運動の法則から出るのではなく、どの解の族を考えるかという選択から出る。

例として、1次元の自由粒子 $H=p^2/2m$ で、時刻0に原点を出る解の族をとる。パラメータは初めの運動量 $p_0$ である。

$$q(t;p_0)=\frac{p_0}{m}t,\qquad p(t;p_0)=p_0$$

$t>0$ では $p_0=mq/t$ と解けるので、この族に沿った運動量の場は次のとおりである。

$$p(q,t)=\frac{mq}{t}\tag{14.21}$$

時刻0では $L_0$ は運動量の軸で、位置の上のグラフになっていない。時間が進むと $L_t$ は傾き $m/t$ の直線になってグラフになり、時刻が大きくなると位置の軸に近づく（図 14.4）。同じ自由粒子でも、時刻0に運動量をそろえて全位置から出る族を選ぶと、場は定数になる。族の選び方が変われば場も変わる。

Lagrange 部分多様体

場が関数 $S$ の勾配として書けるかどうかは、族のとり方による。これを判定するのが次の概念である。

証明

包含写像を $q\mapsto(q,P(q))$ と書くと、$\iota_L^*\theta=P_i\,\mathrm{d} q^i$ である。外微分をとると次のとおりである。

$$\iota_L^*\omega=\mathrm{d}(P_i\,\mathrm{d} q^i)=\frac{\partial P_i}{\partial q^j}\mathrm{d} q^j\wedge\mathrm{d} q^i=\sum_{i<j}\Bigl(\frac{\partial P_j}{\partial q^i}-\frac{\partial P_i}{\partial q^j}\Bigr)\mathrm{d} q^i\wedge\mathrm{d} q^j$$

これが0であることは (b) と同値である。(b) は1形式 $P_i\,\mathrm{d} q^i$ が閉であることを意味し、可縮な領域では Poincaré の補題によって (c) と同値である。

ファイバー $\{q=q_0\}$ は、その上で $\mathrm{d} q^i=0$ なので Lagrange 部分多様体である。この場合はグラフではない。

証明

像の包含写像は $F\circ\iota_L$ である。

$$(F\circ\iota_L)^*\omega=\iota_L^*F^*\omega=\iota_L^*\omega=0$$

原点から出る族では、$L_0$ はファイバーで Lagrange である。したがって $L_t$ は常に Lagrange で、グラフになっている間は $p=\partial S/\partial q$ と書ける。逆に、時刻0に $p=(-y,x)$ のような場を初期値に選ぶと、命題 14.24 の (b) が成り立たない。その場はどんな関数の勾配にもならず、Hamilton–Jacobi の理論が扱うのは Lagrange 部分多様体になる族である。

Hamilton–Jacobi 方程式

証明

(ii) から示す。$p_i(t)=\partial_iS(q(t),t)$ を時刻で微分すると、連鎖律から

$$\dot p_i=\partial_i\partial_tS+\partial_j\partial_iS\,\dot q^j$$

である。(14.22) を $q^i$ で偏微分すると、$H$ の第2引数にも位置が入っているので次のようになる。

$$\partial_i\partial_tS=-\frac{\partial H}{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial p_j}\,\partial_i\partial_jS$$

これを代入し、$\dot q^j=\partial H/\partial p_j$ を使う。2階微分を含む2項が打ち消し合う。

$$\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial p_j}\partial_i\partial_jS+\partial_j\partial_iS\,\frac{\partial H}{\partial p_j}=-\frac{\partial H}{\partial q^i}$$

位置の方程式は仮定そのものなので、Hamilton 方程式の2式がそろう。

(i) を示す。

命題 14.25 から、$L_t$ は Lagrange である。グラフなので、命題 14.24 から各時刻で $L_t$ は $p=\partial\tilde S/\partial q$ と書ける。ここで $\tilde S(q,t)$ は、各時刻で定数を除いて決まる関数である。場を $P_i(q,t)=\partial_i\tilde S$ と書く。

$L_t$ の点は Hamilton 方程式に従うので、$\dot p_i=-\partial H/\partial q^i$ である。一方、点 $(q(t),P(q(t),t))$ の運動量の変化を連鎖律で書くと、次の式になる。

$$\dot p_i=\partial_tP_i+\partial_jP_i\,\dot q^j=\partial_tP_i+\partial_iP_j\,\frac{\partial H}{\partial p_j}$$

2つ目の等号では、位置の方程式と命題 14.24 (b) の対称性を使った。

場を代入した関数を $h(q,t)=H(q,P(q,t),t)$ と置く。2つの表し方を等しいと置くと、次のように書ける。

$$\partial_tP_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial p_j}\partial_iP_j=-\partial_ih$$

$P_i=\partial_i\tilde S$ なので、次が成り立つ。

$$\partial_i\bigl(\partial_t\tilde S+h\bigr)=0$$

したがって $\partial_t\tilde S+h$ は、位置によらない関数 $c(t)$ である。

その時間積分を引いたものを、新しく $S$ と置く。

$$S(q,t)=\tilde S(q,t)-\int_0^tc(s)\,\mathrm{d} s$$

勾配は変わらず、(14.22) が成り立つ。$S(q,0)$ は定数のずれを合わせて $S_0$ にとる。

この定理が、運動量が場になる理由の答えである。(14.22) の $\partial S/\partial q$ は1本の軌道の運動量ではない。Lagrange 部分多様体になる解の族 $L_t$ を、位置の上のグラフとして読んだものである。時空の各点を族の解がちょうど1本通るので、その解の運動量がその点に割り当てられる。

証明

連鎖律と (14.22) から、次のとおりである。

$$\frac{d S}{d t}=\partial_tS+\partial_iS\,\dot q^i=-H+p_i\dot q^i$$

右辺は、第3章 §3.4 の Legendre 写像 $\mathbb FL$ で結ばれた Lagrangian に等しい。

時刻を加えた拡大相空間の1形式 $\theta-H\,\mathrm{d} t$ を考える。$\mathrm{d} S$ は、この1形式を族の解が掃く $(n+1)$ 次元の部分多様体へ引き戻したものに等しい。$S$ が1価に決まるのは、この引き戻しが閉形式だからである。

波面・焦線・ほかの分野へのつながり

$S$ の等高面を作用の波面と呼ぶ。Hamiltonian が $H=g^{ij}p_ip_j/2m+V(q)$ の形なら、速度は $\dot q^i=g^{ij}p_j/m$ である。これは、計量で添字を上げた $\partial S$ の勾配ベクトルに比例する（第5章 §5.2）。したがって族の軌道は、計量の意味で波面に直交する。

図 14.4 の左は $(q,t)$ 平面の図なので、軌道と等高線は直交して見えない。各時刻の位置の空間で見ると、軌道は波面に直交している。3次元なら、波面は原点を中心とする球面である。

光学では、屈折率 $n(\bm{x})$ の媒質の中の光線の族について、位相が eikonal 方程式 $\left\vert \nabla S\right\vert ^2=n^2$ を満たす。光線は波面に垂直で、第10章 §10.5 の Fermat の原理の光線と一致する。量子力学では、波動関数を $\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ と置き、Planck 定数を0に近づけた主要項をとる。すると位相が (14.22) を満たし（WKB 近似）、古典的な作用の波面は量子力学の波の位相の極限になる。

族の解が交わると、$L_t$ は位置の上のグラフでなくなる。1次元の自由粒子で、時刻0に位置 $q_0$ から運動量 $-kq_0$ で出る族をとる。各解は $q(t)=q_0(1-kt/m)$ である（$k>0$）。時刻 $m/k$ ですべての解が原点に集まり、その時刻の $L_t$ は運動量の軸になる。

このように解が集まる点の集まりを焦線（コースティック）と呼ぶ。焦線では運動量の場も $S$ も特異になるが、$L_t$ 自体は相空間の滑らかな直線のままである。特異になるのは $L_t$ から位置の空間への射影であって、相空間の幾何ではない。焦線を越えると族の解は再び1本ずつに分かれ、$L_t$ はまたグラフになる。

確認テスト

オリジナル

1. 14.5-1 平面の相空間の2つのグラフ $p=(y,x)$ と $p=(-y,x)$ のうち、Lagrange 部分多様体はどちらか。Lagrange である方について、場を勾配に持つ関数を求めよ。
2. 14.5-2 調和振動子 $H=p^2/2m+m\omega_0^2q^2/2$ で、時刻0に原点を出る解の族を考える。$0<t<\pi/\omega_0$ での運動量の場を求めよ。次の関数が (14.22) を満たすことを確かめ、$t=\pi/\omega_0$ で何が起こるかを答えよ。

$$S=\frac12m\omega_0q^2\cot\omega_0t$$ 3. 14.5-3 一様な重力 $H=p^2/2m+mgq$ で、時刻0に原点を出る解の族を考える。運動量の場と作用 $S(q,t)$ を求めよ。作用は、原点から出る解に沿った作用積分にとる。4. 14.5-4 本文の焦点を結ぶ族を考える。自由粒子で、初期値は $q(0)=q_0$、$p(0)=-kq_0$ である。$0<t<m/k$ での運動量の場を求めよ。$S(q,0)=-kq^2/2$ となる作用を求め、(14.22) を満たすことも確かめよ。