添字の上げ下げ

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.2　★★★ 計量があるとベクトルと1形式を1対1に対応させられる。勾配ベクトルはこの対応で $\mathrm{d} f$ から作る

ベクトルから1形式へ

計量に接ベクトル $v$ を1つだけ入れると、線形写像 $w\mapsto g(v,w)$ ができる。これは、ベクトルを入れて数を返す線形写像なので、1形式である（第3章 §3.1）。この1形式を $v^\flat=g(v,\cdot)$ と書く。

成分は $v^\flat(\partial_j)=g(v,\partial_j)=g_{ij}v^i$ である。この成分を $v_j$ と書く。

$$v_j=g_{ji}v^i\tag{5.8}$$

この操作を添字を下げると呼ぶ。

逆写像を添字を上げる操作と呼ぶ。上げてから下げると元に戻る。$g_{ij}g^{jk}\alpha_k=\alpha_i$ だからである。

反変成分と共変成分の図

斜交座標で、上付きの成分と下付きの成分を図で比べる。ベクトル $v$ を2つの基底ベクトルの和に分けたときの係数が、上付きの成分 $v^i$ である。図では、$v$ の先端から各軸に平行に線を引いて読む。

下付きの成分は $v_i=g(v,\partial_i)=\bm{v}\cdot\bm{a}_i$ である。基底ベクトルの長さは1なので、$v_i$ は $v$ をその方向へ垂直に射影した長さになる。図 5.2 の例では、上付きの成分は $(v^1,v^2)=(2,1)$ である。下付きの成分は $(v_1,v_2)=(5/2,\,2)$ である。

(5.8) で計算すると $v_1=1\cdot2+\tfrac12\cdot1=5/2$ になる。同じく $v_2=\tfrac12\cdot2+1\cdot1=2$ となり、図と一致する。

図 5.2　角 $60^\circ$ の斜交座標でのベクトル $v=2\bm{a}_1+\bm{a}_2$。赤の破線は軸に平行な線で、上付きの成分 $v^i$（係数）を読む。緑の点線は軸への垂線で、下付きの成分 $v_i=\bm{v}\cdot\bm{a}_i$ を読む。直交座標ではこの2つの線が一致するので、成分を区別しなくてよい。

勾配ベクトル

関数 $f$ の微分 $\mathrm{d} f=\partial_if\,\mathrm{d} x^i$ は、計量が無くても定義できる1形式である（第3章 §3.2）。$\mathrm{d} f$ はベクトルではない。ベクトルとしての勾配は、$\mathrm{d} f$ の添字を上げて作る。

命題の2つの主張は、どちらも計量を使っている。「最も急な向き」は長さ1のベクトルの中で比べるので、長さを決める計量が要る。「等位集合と直交する」も、直交を決める計量が要る。計量が無い空間で言えるのは、$\mathrm{d} f$ の核が等位集合の接空間になる、ということまでである。

確認テスト

オリジナル

1. 5.2-1 平面の極座標で、ベクトル $\partial_\theta$ の添字を下げた1形式を、$\mathrm{d} r,\ \mathrm{d}\theta$ で書け。
2. 5.2-2 半径 $a$ の球面（例題 5.1 の計量）で、関数 $f=\cos\theta$ の勾配の成分と長さを求めよ。長さが最大になる緯度も答えよ。
3. 5.2-3 角 $60^\circ$ の斜交座標で、ベクトル $v=\partial_1+\partial_2$ の下付きの成分を求めよ。縮約 $v_iv^i$ から長さを出せ。その長さが、長さ1の2本のベクトルを $60^\circ$ で足した和の長さと一致することを確かめよ。
4. 5.2-4 添字を下げてから上げると元のベクトルに戻ること、すなわち $g^{ij}(g_{jk}v^k)=v^i$ を示せ。また、2つのベクトルの内積が $g(v,w)=v_iw^i=g^{ij}v_iw_j$ とも書けることを示せ。