双対空間と余接ベクトル

物理のための微分幾何入門　第3章 §3.1　★★★ 上付きと下付きの添字の区別はここで生まれる。ベクトルの成分と1形式の成分は逆向きに変換し、組み合わせると座標に依らない数になる

第2章では、多様体の各点 $p$ に接空間 $T_pM$ を置いた。座標基底は $\partial_i=\partial/\partial x^i$ で、その変換則も作った。接ベクトル $V$ は、関数に方向微分 $V(f)$ という数を対応させる。

この章では向きを逆にして、接ベクトルを受け取って数を返す線形写像を扱う。その写像を余接ベクトル、点ごとに余接ベクトルを並べたものを1形式と呼ぶ。

1形式は物理のいたるところに現れる。関数の微分 $\mathrm{d} f$、力が微小な変位にする仕事、熱力学の熱 $\delta Q$、平面波の波数、解析力学の運動量は、どれも1形式である。この章の前半では双対空間と微分 $\mathrm{d} f$ を定義し、「勾配」を矢印として描くには計量という余分な構造が要ることを確かめる。後半では線積分と完全微分を扱い、熱 $\delta Q$ が完全微分でなく $1/T$ を掛けると完全微分になることを見る。

最後の2節では解析力学に移る。運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q^i$ が下付きの添字を持つ理由を変換則から示し、Legendre 変換を接束から余接束への写像として読む。§3.5 では、Lagrangian の変数 $(q,\dot q,t)$ を独立に動かしてよい理由を、接束という多様体の座標として説明する。

この章の結果は、第4章のテンソル、第5章 §5.2 の添字の上げ下げ、第12章の微分形式、第14章の相空間でそのまま使う。解析力学の計算の詳細は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第1部第4章（Euler–Lagrange 方程式）と第7章（Legendre 変換）に送る。

双対空間と双対基底

まず、多様体を離れて有限次元の線形代数で話を組み立てる。$V$ を $n$ 次元の実ベクトル空間とする。

双対ベクトルは、ベクトルを1本受け取って実数を1つ返す線形な規則である。$V=\mathbb{R}^n$ の元を縦ベクトルで書くと、双対ベクトルは横ベクトルで書け、値は行列の積で計算する。この見方は計算には便利だが、横ベクトルを縦ベクトルに戻す規則（転置）は基底の選び方に依存する。その依存性が、この章の後半で「勾配には計量が要る」という形で現れる。

この章から先は、和の記号 $\sum$ を省く総和規約を使う。1つの項の中で同じ添字が上と下に1回ずつ現れたら、その添字について $1$ から $n$ まで和をとる。たとえば $\alpha_ie^i$ は $\sum_{i=1}^n\alpha_ie^i$ のことである。第1章と第2章では和を $\sum$ で書いたが、表す中身は同じである。

証明

線形写像は基底での値で決まるので、条件 (3.1) は $e^i$ をただ1つに定める。

1次独立性を示す。$c_ie^i=0$ と仮定し、両辺を $e_j$ に作用させる。左辺は $c_i\delta^i{}_j=c_j$ になる。したがって、すべての係数 $c_j$ が0である。

張ることを示す。任意の $\alpha\in V^*$ に対して $\beta=\alpha(e_i)\,e^i$ と置く。各基底ベクトルでの値は $\beta(e_j)=\alpha(e_i)\delta^i{}_j=\alpha(e_j)$ で、$\alpha$ の値と一致する。2つの線形写像が基底の上で一致するので $\beta=\alpha$ である。

ベクトル $v=v^je_j$ に $\alpha$ を作用させると、線形性と (3.1) から次の式を得る。

$$\alpha(v)=\alpha_iv^j\,e^i(e_j)=\alpha_iv^i\tag{3.2}$$

特に $\alpha=e^i$ と選ぶと $e^i(v)=v^i$ である。双対基底の $e^i$ は、ベクトルからその第 $i$ 成分を取り出す写像になっている。

基底の取り替えと変換則

基底を $e'_a=A^j{}_a\,e_j$ と取り替える（$A$ は正則行列）。新しい双対基底と成分がどう変わるかを調べる。

証明

候補 $\tilde e^a=(A^{-1})^a{}_je^j$ を $e'_b$ に作用させる。

$$\tilde e^a(e'_b)=(A^{-1})^a{}_jA^k{}_b\,e^j(e_k)=(A^{-1})^a{}_jA^j{}_b=\delta^a{}_b$$

これは (3.1) の条件そのものなので、定理 3.2 の一意性から $\tilde e^a=e'^a$ である。

成分は、前の小節の公式 $v'^a=e'^a(v)$ と $\alpha'_a=\alpha(e'_a)$ から計算する。

$$v'^a=(A^{-1})^a{}_j\,e^j(v)=(A^{-1})^a{}_jv^j,\qquad \alpha'_a=\alpha(A^j{}_ae_j)=A^j{}_a\alpha_j$$

最後に、2つを組み合わせると $A$ と $A^{-1}$ が打ち消し合う。

$$\alpha'_av'^a=A^j{}_a\alpha_j\,(A^{-1})^a{}_kv^k=\alpha_j\delta^j{}_kv^k=\alpha_jv^j$$

(3.3) の2つの式を見比べる。双対ベクトルの成分 $\alpha_a$ は、基底と同じ行列 $A$ で変わる。ベクトルの成分 $v^a$ は、逆行列 $A^{-1}$ で変わる。添字を下に書く量は基底と同じ向きに、上に書く量は基底と逆向きに変わる、というのが添字の位置の意味である。

双対ベクトルは、図 3.1 のように平行な等間隔の線（3次元なら面）の族として描ける。$\alpha$ の値が整数になる線を引くと、値 $\alpha(v)$ は矢印が横切る線の本数（端数を含む）になる。線の間隔が狭いほど $\alpha$ の成分は大きい。矢印と線の族を同じ図に描くだけで値が読め、ベクトルの長さや角度は使わない。

余接空間と座標基底

多様体に戻る。各点の接空間 $T_pM$ は $n$ 次元のベクトル空間なので、その双対空間を考えることができる。

記号 $\mathrm{d} x^i$ を選んだ理由は §3.2 で明らかになる。座標関数 $x^i$ の微分を定義すると、それがちょうど (3.4) を満たす。

第2章 §2.2 で、別の座標 $x'^a$ への取り替えで座標基底が次のように変わることを見た。

$$\partial'_a=\frac{\partial x^j}{\partial x'^a}\,\partial_j$$

これは命題 3.3 の $A^j{}_a=\partial x^j/\partial x'^a$ の場合である。逆行列は $\partial x'^a/\partial x^j$ なので、(3.3) から余接ベクトルの基底と成分の変換則が決まる。

$$\mathrm{d} x'^a=\frac{\partial x'^a}{\partial x^j}\,\mathrm{d} x^j,\qquad \omega'_a=\frac{\partial x^j}{\partial x'^a}\,\omega_j,\qquad V'^a=\frac{\partial x'^a}{\partial x^j}\,V^j\tag{3.5}$$

最初の式は、微小な変位の連鎖律と同じ形をしている。両者が一致することは §3.2 で確かめる。

物理の例：波数は余接ベクトル

平面波 $\cos(\bm k\cdot\bm x-\omega t)$ の位相 $\phi=k_ix^i-\omega t$ を考える。空間の変位 $\Delta x$ に対する位相の変化は $k_i\Delta x^i$ で、変位について線形である。波数 $k$ は、変位を受け取って位相の変化を返す余接ベクトルである。図 3.1 の線の族は、位相が $2\pi$ の整数倍になる波面そのものにあたる。

結晶の逆格子も同じ構造を持つ。格子の基本並進ベクトル $a_1,\dots,a_n$ を基底に選ぶと、逆格子の基本ベクトル $b^i$ は次の条件で決まる。

$$b^i(a_j)=2\pi\,\delta^i{}_j$$

これは双対基底の $2\pi$ 倍である。$b^i$ を普通は位置ベクトルと同じ空間の矢印として描くが、その描き方には Euclid の内積を使っている。

確認テスト

オリジナル

1. 3.1-1 平面の基底 $e_1=(1,0)$、$e_2=(1,1)$ を考える。その双対基底を $\mathrm{d} x,\mathrm{d} y$ の線形結合で求めよ。
2. 3.1-2 1形式 $\omega=x\,\mathrm{d} y-y\,\mathrm{d} x$ を、平面の極座標の $\mathrm{d} r,\mathrm{d}\theta$ で書け。
3. 3.1-3 確認テスト 3.1-2 の1形式を、次の2つのベクトル場に作用させよ。

$$V=-y\,\partial_x+x\,\partial_y,\qquad W=x\,\partial_x+y\,\partial_y$$

直交座標の成分で計算した値と、極座標の成分で計算した値が一致することを確かめよ。4. 3.1-4 基底を $e'_a=A^j{}_ae_j$ と取り替える。ベクトルの成分の変換則 $v'^a=(A^{-1})^a{}_jv^j$ を、関係式 $v=v^je_j=v'^ae'_a$ だけから導け。