確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第2章 §2.6

2.1 曲線の速度としての接ベクトル

1. 2.1-1 時刻 $0$ での位置は、どちらも原点である。速度の成分は次のとおりである。

$$\dot\gamma_1(t)=(1,\ 2t)\to(1,0),\qquad \dot\gamma_2(t)=(\cos t,\ \sin t)\to(1,0)\qquad(t\to0).$$

成分が一致するので、定義 2.1 により2本は同じ接ベクトル $\partial_x$ を定める。2. 2.1-2 まず合成を直接微分する。合成は次の式である。

$$f(\gamma(t))=(1+t)^2(1+2t)+(1+2t)^3.$$

時刻で微分して $0$ を入れると

$$\Bigl[2(1+t)(1+2t)+2(1+t)^2+6(1+2t)^2\Bigr]_{t=0}=2+2+6=10.$$

次に展開 (2.6) を使う。偏微分は $\partial_xf=2xy$ と $\partial_yf=x^2+3y^2$ である。点 $(1,1)$ での値は、それぞれ2と4である。速度の成分は $(1,2)$ なので、次のように2つは一致する。

$$v_\gamma(f)=2\times1+4\times2=10.$$ 3. 2.1-3 曲線の角度は $\theta(t)=\pi/2+\omega t$ である。角度のチャートでの成分は $\dot\theta=\omega$ で、接ベクトルは $\omega\,\partial_\theta$ である。横の座標のチャートでは、座標表示は次の式になる。

$$x(t)=\cos(\pi/2+\omega t)=-\sin\omega t.$$

その微分は $\dot x(0)=-\omega$ なので、接ベクトルは $-\omega\,\partial_x$ と書ける。点 $(0,1)$ で角度を増やすと横の座標は減るので、符号が逆になる。4. 2.1-4 Leibniz 則に $f(p)=g(p)=0$ を入れると、次の式になる。

$$v(fg)=f(p)\,v(g)+g(p)\,v(f)=0.$$

次に、2次の零点を持つ関数を考える。各項は、因子 $q^i-a^i$ と因子 $(q^j-a^j)h_{ij}$ の積である。どちらの因子もこの点で $0$ になる。

前半の結果から各項の微分は $0$ で、線形性から全体の微分も $0$ となる。この結果は、微分の値が関数の1次の部分だけで決まることを表す。

2.2 座標基底と変換則

1. 2.2-1 逆の関係は $x=u-y$ である。変換則 (2.7) の係数は、$(\partial x/\partial y)_u=-1$ と $(\partial y/\partial y)_u=1$ である。

$$\frac{\partial }{\partial y}\Big|_u=-\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\Big|_x.$$

同じ記号の縦の偏微分でも、相方が違えば別のベクトルになる。例えば横の座標の関数に作用させると、前者のチャートでは $0$、後者では $-1$ を返す。2. 2.2-2 極座標の逆の関係は、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ と $\theta=\arctan(y/x)$ である。偏微分は次のようになる。

$$\frac{\partial r}{\partial x}=\cos\theta,\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\sin\theta,\quad \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{\sin\theta}{r},\quad \frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{\cos\theta}{r}.$$

変換則 (2.7) を、新しい座標を直交座標として使う。

$$\frac{\partial }{\partial x}=\cos\theta\,\frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta},\qquad \frac{\partial }{\partial y}=\sin\theta\,\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}.$$

これは本文の極座標の例の行列の逆行列であり、掛けると単位行列になる。3. 2.2-3 温度を止めると、内部エネルギーの第1項は動かない。したがって $(\partial U/\partial V)_T=aN^2/V^2$ である。エントロピーを止めると、次の式が成り立つ。

$$\mathrm{d} S=C_V\frac{\mathrm{d} T}{T}+N k_{\mathrm B}\frac{\mathrm{d} V}{V-Nb}=0,\qquad \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\frac{N k_{\mathrm B} T}{C_V(V-Nb)}.$$

(2.13) に、$(\partial U/\partial T)_V=C_V$ と合わせて入れる。

$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S=\frac{aN^2}{V^2}-C_V\frac{N k_{\mathrm B} T}{C_V(V-Nb)}=-\Bigl(\frac{N k_{\mathrm B} T}{V-Nb}-\frac{aN^2}{V^2}\Bigr)=-p.$$

理想気体と違って、温度を止めた偏微分は $0$ でない。分子間の引力の分だけ、内部エネルギーが体積に陽に依存する。4. 2.2-4 回る系のチャートで、回る系の座標を止めて時刻で微分する。

$$\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{X,Y}=-\Omega(X\sin\Omega t+Y\cos\Omega t)=-\Omega y,\qquad \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)_{X,Y}=\Omega(X\cos\Omega t-Y\sin\Omega t)=\Omega x.$$

時刻の係数 $(\partial t/\partial t)_{X,Y}=1$ と合わせて、変換則 (2.7) から

$$\frac{\partial }{\partial t}\Big|_{X,Y}=\frac{\partial }{\partial t}\Big|_{x,y}+\Omega\Bigl(-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}\Bigr).$$

関数 $x$ に作用させると $-\Omega y$ なので、回る系のチャートではこの関数は時刻に陽に依存する。関数 $x^2+y^2$ に作用させると、$-2\Omega xy+2\Omega xy=0$ である。したがって陽に依存しない。実際、この関数は $X^2+Y^2$ と書けて時刻を含まない。5. 2.2-5 命題 2.8 から、2つの偏微分の差は次の式である。

$$\left(\frac{\partial q^2}{\partial q^1}\right)_{q'^2}\frac{\partial }{\partial q^2}.$$

一致は、この係数が近傍で恒等的に $0$ であることと同値である。

新しい座標が一定の曲線の上で全微分をとると、次の式になる。

$$\frac{\partial q'^2}{\partial q^1}\,\mathrm{d} q^1+\frac{\partial q'^2}{\partial q^2}\,\mathrm{d} q^2=0,\qquad \left(\frac{\partial q^2}{\partial q^1}\right)_{q'^2}=-\frac{\partial q'^2/\partial q^1}{\partial q'^2/\partial q^2}.$$

組 $(q^1,q'^2)$ はチャートなので、分母の $\partial q'^2/\partial q^2$ は消えない。

よって係数が消えることは、偏微分 $\partial q'^2/\partial q^1$ が恒等的に消えることと同値である。凸な近傍では、最初の座標の方向の線分に沿って新しい座標が変わらない。したがって、新しい座標は $q^2$ だけの関数である。逆に $q'^2=g(q^2)$ なら、偏微分 $\partial q'^2/\partial q^1$ は消える。

2.3 ベクトル場と積分曲線

1. 2.3-1 積分曲線の方程式は、$\dot x=x$ と $\dot y=-y$ で、2つは独立に解ける。

$$x(t)=x_0\mathrm{e}^{t},\qquad y(t)=y_0\mathrm{e}^{-t}.$$

ベクトル場を関数に作用させると、次のように $0$ になる。

$$X(xy)=x\,\partial_x(xy)-y\,\partial_y(xy)=xy-xy=0.$$

したがって積は積分曲線の上で一定である。実際 $x(t)y(t)=x_0y_0$ で、積分曲線は双曲線の上にある。2. 2.3-2 流れを時刻で微分すると

$$\frac{\partial }{\partial t}\frac{x}{1-tx}=\frac{x^2}{(1-tx)^2}=\Phi_t(x)^2$$

となり、方程式 $\dot x=x^2$ を満たす。時刻 $0$ では $\Phi_0(x)=x$ である。

合成を計算する。

$$\Phi_t(\Phi_s(x))=\frac{x/(1-sx)}{1-tx/(1-sx)}=\frac{x}{1-sx-tx}=\Phi_{t+s}(x).$$

これは分母が $0$ にならない範囲で成り立つ。その範囲は、$1-sx\neq0$ かつ $1-(t+s)x\neq0$ である。3. 2.3-3 積分曲線の方程式は、$\dot x=\gamma y$ と $\dot y=0$ である。縦の座標は一定なので、横の座標は $x=x_0+\gamma y_0t$ となる。流れは $\Phi_t(x_0,y_0)=(x_0+\gamma ty_0,\ y_0)$ である。ヤコビ行列とその行列式は次のとおりである。

$$D\Phi_t=\begin{pmatrix}1&\gamma t\\0&1\end{pmatrix},\qquad \det D\Phi_t=1.$$

面積要素は行列式の倍率で変わるので、流体の面積は保たれる。4. 2.3-4 成分は $X^q=\partial H/\partial p$ と $X^p=-\partial H/\partial q$ である。

$$\partial_qX^q+\partial_pX^p=\frac{\partial^2H}{\partial q\,\partial p}-\frac{\partial^2H}{\partial p\,\partial q}=0.$$

ハミルトニアンは滑らかなので、2階の偏微分の順序を入れ替えられることを使った。発散が $0$ であることは、相空間の流れが面積を保つことを示唆する（Liouville の定理。第14章 §14.3）。

2.4 写像の微分

1. 2.4-1 例題 2.5 の式を使う。

$$F_*\partial_\theta=-r\sin\theta\,\partial_x+r\cos\theta\,\partial_y.$$

値 $r=2$ と $\theta=\pi/2$ を入れる。成分は $(-2,\ 0)$ である。したがって $F_*\partial_\theta=-2\,\partial_x$ となる。行き先の点 $(0,2)$ で、円周を反時計回りに回る向きは横軸の負の向きなので、図 2.6 と合う。2. 2.4-2 合成は $G(F(u,v))=(u+v)^2-2uv=u^2+v^2$ である。直接の微分は $(2u,\ 2v)=(2,\ 4)$ である。ヤコビ行列は次のとおりである。

$$DF=\begin{pmatrix}1&1\\ v&u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix},\qquad DG\bigl(F(1,2)\bigr)=(2x,\ -2)\big|_{(3,2)}=(6,\ -2).$$

積は次のように直接の微分と一致する。

$$DG\cdot DF=(6\times1-2\times2,\ 6\times1-2\times1)=(2,\ 4).$$ 3. 2.4-3 (2.19) から次の式を得る。

$$\iota_*(\dot q\,\partial_q)=\ell\dot q\cos q\,\partial_x+\ell\dot q\sin q\,\partial_y.$$

大きさの2乗は $\ell^2\dot q^2(\cos^2q+\sin^2q)=\ell^2\dot q^2$ なので、速さは $\ell\left\vert \dot q\right\vert$ である。運動エネルギーは $T=\frac12m\ell^2\dot q^2$ で、角度には依らない。4. 2.4-4 写像の微分は $f'(x)=\mathrm{e}^x=y$ である。(2.19) から、押し出しは $f_*\partial_x=y\,\partial_y$ となる。この積分曲線は、方程式 $\dot y=y$ を解いて $y(t)=y_0\mathrm{e}^t$ となる。一方、次の計算が成り立つ。

$$f\bigl(\Phi_t(f^{-1}(y_0))\bigr)=\exp\bigl(\ln y_0+t\bigr)=y_0\mathrm{e}^t.$$

2つは一致し、命題 2.18 の例になっている。