Liouville の定理

物理のための微分幾何入門　第14章 §14.3　★★★ Hamilton の流れは $\omega$ を保ち、したがって相空間の体積を保つ

流れは正準2形式を保つ

証明

Cartan の公式 (14.1) に、$\mathrm{d}\omega=0$ と (14.8) を入れる。

$$\mathcal L_{X_H}\omega=\iota_{X_H}\mathrm{d}\omega+\mathrm{d}\,\iota_{X_H}\omega=0+\mathrm{d}(-\mathrm{d} H)=-\mathrm{d}^2H=0$$

(14.1) の2つ目の式から、引き戻しの時間微分は次のとおりである。

$$\frac{d }{d t}\Phi_t^*\omega=\Phi_t^*\mathcal L_{X_H}\omega=0$$

時刻0では $\Phi_0^*\omega=\omega$ なので、どの時刻でも $\Phi_t^*\omega=\omega$ である。

証明に使ったのは、$\omega$ が閉であることと、$\iota_{X_H}\omega$ が完全形式であることの2つだけである。逆向きの命題も成り立つ。

証明

Cartan の公式から $\mathcal L_X\omega=\mathrm{d}\,\iota_X\omega$ なので、1形式 $\iota_X\omega$ は閉である。Poincaré の補題により、可縮な近傍ではある関数 $H$ で $\iota_X\omega=-\mathrm{d} H$ と書ける。

この関数は相空間全体で1価とは限らない。単振り子の相空間の円柱で $X=\partial_p$ をとると、$\iota_X\omega=\mathrm{d} q$ である。したがって局所には $H=-q$ と書けるが、$q$ は円の角度なので、円柱全体では1価の関数にならない。局所と大域の食い違いは、§14.4 の正準変換と §14.6 の保存量でもう一度現れる。

相空間の体積

証明

$\sigma_i=\mathrm{d} p_i\wedge\mathrm{d} q^i$ と置く。2形式どうしは可換なので、$\omega^n=(\sigma_1+\dots+\sigma_n)^n$ は多項式のように展開できる。同じ $\sigma_i$ を2回含む項は、$\mathrm{d} q^i\wedge\mathrm{d} q^i=0$ を含むので消える。

残るのは、$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ を1回ずつ含む項である。その数は $n!$ 個で、可換性からどれも $\sigma_1\wedge\dots\wedge\sigma_n$ に等しい。

証明

定理 14.15 と、引き戻しがウェッジ積と可換であることから

$$\Phi_t^*(\omega^n)=(\Phi_t^*\omega)^n=\omega^n$$

である。$\Phi_t$ は恒等写像から連続につながっているので、向きを保つ。積分の変数変換（第12章 §12.3）から次を得る。

$$\int_{\Phi_t(D)}\frac{\omega^n}{n!}=\int_D\Phi_t^*\frac{\omega^n}{n!}=\int_D\frac{\omega^n}{n!}$$

補題 14.17 から、$\omega^n/n!$ の積分は符号を除いて $\mathrm{d}^nq\,\mathrm{d}^np$ の積分に等しい。

座標で書くと、Liouville の定理は $X_H$ の発散が0であることに当たる。

$$\operatorname{div}X_H=\sum_i\Bigl(\frac{\partial }{\partial q^i}\frac{\partial H}{\partial p_i}+\frac{\partial }{\partial p_i}\Bigl(-\frac{\partial H}{\partial q^i}\Bigr)\Bigr)=0$$

2階偏微分の順序を入れ替えると打ち消し合うので、この計算に Hamiltonian の具体形は要らない。

図 14.3 は、単振り子の相空間で初期値を円板に並べて流したものである。円板は時間とともに大きく引き伸ばされて曲がるが、面積は変わらない。振れの大きい軌道ほど周期が長いので、外側の点が内側の点より遅れ、領域は渦状に巻き込まれていく。

分布関数の時間発展と物理の例

相空間に多数の系を、初期値を変えて並べる。その密度を $\rho(q,p,t)$ とする。各系は流れに乗って動き、系の数は増えも減りもしない。Liouville の定理から体積も保たれるので、流れに乗って見た密度は一定である。

$$0=\frac{d \rho}{d t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\{\rho,H\}$$

したがって密度は、次の Liouville 方程式に従う。

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=\{H,\rho\}\tag{14.17}$$

統計力学の平衡分布は、この方程式の時間によらない解である。

1変数関数 $f$ について $\{H,f(H)\}=f'(H)\{H,H\}=0$ である。したがって、密度が $\rho=f(H)$ の形なら右辺は0になる。小正準分布（等エネルギー面に一様な分布）と正準分布 $\rho\propto\mathrm{e}^{-\beta H}$ は、どちらもこの形である。等エネルギー面の上で「一様」という言い方が座標によらない意味を持つのは、流れが保つ体積があるからである。

摩擦のある系は Hamilton 系でない。この違いは体積の振る舞いに出る。

確認テスト

オリジナル

1. 14.3-1 自由度1の $H=p^2/2m+V(q)$ について、$\operatorname{div}X_H=0$ を直接確かめよ。
2. 14.3-2 $H=qp$ の流れを求めよ。時刻0に正方形 $[1,2]\times[1,2]$ にある領域が時刻 $t$ に移る先を求め、その面積が1であることを確かめよ。
3. 14.3-3 $n=2$ の等方的な調和振動子を考える。

$$H=\sum_{i=1}^2\Bigl(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2q_i^2}{2}\Bigr)$$

エネルギーが $E$ と $E+\Delta E$ の間にある殻の体積を、幅の1次まで求めよ。半径 $R$ の4次元の球の体積は $\pi^2R^4/2$ である。4. 14.3-4 Hamilton 系には漸近安定な平衡点（近くのすべての初期値がそこへ近づく点）が無いことを、Liouville の定理を使って示せ。5. 14.3-5 正準分布 $\rho=\mathrm{e}^{-\beta H}/Z$ が Liouville 方程式 (14.17) の時間によらない解であることを、(14.11) から直接確かめよ。