Stokes の定理

物理のための微分幾何入門　第12章 §12.4　★★★ 微分積分学の基本定理・Green・Stokes・Gauss の4つが、1つの式 $\int_M\mathrm{d}\omega=\int_{\partial M}\omega$ の場合分けになる

境界と向き

境界を持つ $k$ 次元の向きの入った多様体を $M$ とする。その境界を $\partial M$ と書く。例は、平面の円板（境界は円）、空間の曲面の一部（境界は縁の曲線）、空間の立体（境界は表面）である。境界は $k-1$ 次元で、$M$ の向きから次の規則で向きが入る。

平面の領域では、この規則は「境界を反時計回りに回る」ことになる。外向きの法線の次に正の向きで続くのは、領域を左手に見て進む向きだからである。3次元空間の曲面では、法線と境界の回り方が右手の規則で結ばれる。

1次元の区間 $[a,b]$ の境界は2点である。終点には $+$ の向き、始点には $-$ の向きが入る。

定理と証明

証明

証明は3つの手順に分ける。

手順1：立方体。$M=I^k=[0,1]^k$ とする。線形性から、次の形の $\omega$ で示せば足りる。

$$\omega=f\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\widehat{\mathrm{d} x^i}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^k$$

外微分では $\partial_if\,\mathrm{d} x^i$ の項だけが残る。$\mathrm{d} x^i$ を先頭へ移すと符号 $(-1)^{i-1}$ が出る。

$$\mathrm{d}\omega=(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^k$$

$x^i$ について積分すると、1変数の微分積分学の基本定理から次の式を得る。

$$\int_{I^k}\mathrm{d}\omega=(-1)^{i-1}\int_{I^{k-1}}\bigl[f|_{x^i=1}-f|_{x^i=0}\bigr]\,\mathrm{d} x^1\cdots\widehat{\mathrm{d} x^i}\cdots\mathrm{d} x^k$$

右辺を求める。$\omega$ は $\mathrm{d} x^i$ を含まない。そのため、$x^i$ 以外の座標が一定の面では、引き戻しが $0$ になる。残るのは面 $x^i=1$ と $x^i=0$ だけである。

面 $x^i=1$ の外向きは $+e_i$ である。組 $(e_i,e_1,\dots,\widehat{e_i},\dots,e_k)$ の向きは $(-1)^{i-1}$ である。反対側の面では外向きが逆なので、向きは $(-1)^i$ になる。したがって、境界の積分は左辺と同じ式になる。

手順2：立方体の像。滑らかな写像 $c\colon I^k\to M$ で張った面について、(12.20) と手順1から次が成り立つ。

$$\int_c\mathrm{d}\omega=\int_{I^k}c^*\mathrm{d}\omega=\int_{I^k}\mathrm{d}(c^*\omega)=\int_{\partial I^k}c^*\omega=\int_{\partial c}\omega$$

手順3：張り合わせ。一般の $M$ は、向きを揃えた小さな立方体の像に分割できる。この事実の証明は多様体の本に譲り、ここでは認める。

隣り合う2つの小片の共通の面は、それぞれの境界として逆向きに1回ずつ現れる（図 12.4）。そのため、共通の面の積分は打ち消し合う。手順2の式を全小片について足すと、左辺は $\int_M\mathrm{d}\omega$ になる。右辺は外側の境界だけの積分 $\int_{\partial M}\omega$ になる。

4つの積分定理

(12.26) の次元を変え、§12.2 の対応を使うと、ベクトル解析の積分定理がすべて出る。

1次元のとき、$M$ は曲線である。その境界は終点 $B$ と始点 $A$ である。$\omega=f$ を関数とすると、次の勾配定理になる。

$$\int_\gamma\mathrm{d} f=f(B)-f(A)\tag{12.27}$$

平面の領域 $D$ では、$\omega=P\,\mathrm{d} x+Q\,\mathrm{d} y$ とする。外微分は $\mathrm{d}\omega=(\partial_xQ-\partial_yP)\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ である。これを (12.26) に入れたものが Green の定理である。

$$\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\oint_{\partial D}(P\,\mathrm{d} x+Q\,\mathrm{d} y)\tag{12.28}$$

空間の曲面 $S$ では、$\omega=\bm{a}^\flat$ とする。(12.16) と (12.25) から、ベクトル解析の形の Stokes の定理になる。

$$\int_S(\nabla\times\bm{a})\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S=\oint_{\partial S}\bm{a}\cdot\mathrm{d}\bm{l}\tag{12.29}$$

空間の立体 $V$ では、$\omega=\Phi_{\bm{b}}$ とする。(12.17) から、Gauss の発散定理になる。

$$\int_V\nabla\cdot\bm{b}\;\mathrm{d} V=\oint_{\partial V}\bm{b}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S\tag{12.30}$$

4つの定理の右辺はどれも、内部で微分したものの積分が境界の値だけで決まるという形をしている。手順3の打ち消し合いが共通の理由で、ベクトル解析で別々に示す4つの証明は、この1つの証明の特別な場合である。

物理への応用

Maxwell 方程式の積分形は、微分形にこの定理を当てたものである。Faraday の法則 $\nabla\times\bm{E}=-\partial_t\bm{B}$ を、時間に依らない曲面 $S$ の上で積分する。(12.29) を左辺に使うと、誘導起電力の式になる。

$$\oint_{\partial S}\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\frac{d }{d t}\int_S\bm{B}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S\tag{12.31}$$

同じように、Gauss の法則と (12.30) から、閉曲面を貫く電場の流束は中の電荷の $1/\varepsilon_0$ 倍になる。

確認テスト

オリジナル

1. 12.4-1 ポテンシャル $V$ を持つ力 $\bm{F}=-\nabla V$ を考える。その力のする仕事が始点と終点だけで決まり、経路に依らないことを、(12.27) を使って示せ。
2. 12.4-2 次の2形式と単位立方体 $V=[0,1]^3$ を考える。

$$\beta=x\,\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z+y\,\mathrm{d} z\wedge\mathrm{d} x+z\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$$

$\int_V\mathrm{d}\beta$ と $\int_{\partial V}\beta$ をそれぞれ直接計算して、一致することを確かめよ。3. 12.4-3 半径 $5\,\mathrm{cm}$ の円形の導線ループを、ループの面に垂直な一様な磁場の中に置く。磁場が毎秒 $0.20\,\mathrm{T}$ の割合で増えるとき、(12.31) からループに生じる起電力の大きさを求めよ。4. 12.4-4 境界の無いコンパクトな向きの入った曲面 $S$ と、1形式 $\eta$ を考える。$\int_S\mathrm{d}\eta=0$ を示せ。これを使って、$\Phi_{\bm{B}}=\mathrm{d}\bm{A}^\flat$ と書ける磁場では、閉曲面を貫く磁束が $0$ になることを示せ。